154
5 • Interactions champs-particules
5.2 DÉRIVES ÉLECTROMAGNÉTIQUES
5.2.1 Dérives électriques
Afin de développer la théorie du mouvement des particules chargées dans les champs
électromagnétiques, considérons d’abord la configuration de champs la plus simple
(ne réduisant pas le problème au problème classique de l’accélération par un champ
électrique statique homogène ou au problème du mouvement cyclotronique) : un
champ électrique, homogène et dépendant du temps, E(t), plus un champ magnétique
homogène et stationnaire, B = Bb. Une telle configuration de champs est appelée
configuration de champs croisés. L’équation du mouvement est donnée par :
m
dV
dt
= qE(t) + qV × B
où V est la vitesse de la particule. La vitesse V et le champ électrique E peuvent être
décomposés en une composante parallèle au champ magnétique et une composante
perpendiculaire au champ magnétique.
E = (E·b) b, E ⊥ = b × (E × b) → E = E ⊥ + E
• Dans la direction du champ magnétique, la particule subit une accélération semblable à celle qu’elle subirait en l’absence de champ magnétique et le mouvement
est une translation non uniforme. La solution de la projection de l’équation de
Lorentz suivant b se ramène donc à une quadrature.
m
dV
dt
= qE (t) → V (t) = V (t 0 ) +
q
m
t
t0
E (u)du
• Dans le plan perpendiculaire au champ magnétique, la force électrique n’induit pas
une accélération mais une vitesse de dérive qui se superpose au mouvement cyclotronique. Afin d’étudier ce type d’orbite, introduisons les deux variables complexes Z et E.
V ⊥ = V x u x + V y u y → Z (t) = V x (t) + j V y (t)
E ⊥ = E x u x + E y u y → E (t) =
q
m
E x (t) + j
q
m
E y (t)
u x , u y , b
est une base cartésienne orthonormée directe et x et y constituent
un système de coordonnées cartésiennes dans le plan perpendiculaire au champ
magnétique. Ce changement de variables conduit à l’équation :
dZ(t)
dt
+ jv c Z(t) = E(t)
où v c est la fréquence cyclotron de la particule. La solution de cette équation peut
être exprimée comme la somme d’une solution de l’équation sans second membre
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
5 • Interactions champs-particules
5.2 DÉRIVES ÉLECTROMAGNÉTIQUES
5.2.1 Dérives électriques
Afin de développer la théorie du mouvement des particules chargées dans les champs
électromagnétiques, considérons d’abord la configuration de champs la plus simple
(ne réduisant pas le problème au problème classique de l’accélération par un champ
électrique statique homogène ou au problème du mouvement cyclotronique) : un
champ électrique, homogène et dépendant du temps, E(t), plus un champ magnétique
homogène et stationnaire, B = Bb. Une telle configuration de champs est appelée
configuration de champs croisés. L’équation du mouvement est donnée par :
m
dV
dt
= qE(t) + qV × B
où V est la vitesse de la particule. La vitesse V et le champ électrique E peuvent être
décomposés en une composante parallèle au champ magnétique et une composante
perpendiculaire au champ magnétique.
E = (E·b) b, E ⊥ = b × (E × b) → E = E ⊥ + E
• Dans la direction du champ magnétique, la particule subit une accélération semblable à celle qu’elle subirait en l’absence de champ magnétique et le mouvement
est une translation non uniforme. La solution de la projection de l’équation de
Lorentz suivant b se ramène donc à une quadrature.
m
dV
dt
= qE (t) → V (t) = V (t 0 ) +
q
m
t
t0
E (u)du
• Dans le plan perpendiculaire au champ magnétique, la force électrique n’induit pas
une accélération mais une vitesse de dérive qui se superpose au mouvement cyclotronique. Afin d’étudier ce type d’orbite, introduisons les deux variables complexes Z et E.
V ⊥ = V x u x + V y u y → Z (t) = V x (t) + j V y (t)
E ⊥ = E x u x + E y u y → E (t) =
q
m
E x (t) + j
q
m
E y (t)
u x , u y , b
est une base cartésienne orthonormée directe et x et y constituent
un système de coordonnées cartésiennes dans le plan perpendiculaire au champ
magnétique. Ce changement de variables conduit à l’équation :
dZ(t)
dt
+ jv c Z(t) = E(t)
où v c est la fréquence cyclotron de la particule. La solution de cette équation peut
être exprimée comme la somme d’une solution de l’équation sans second membre
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit