5.1 Mouvement cyclotronique
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de l’adiabaticité de l’évolution du champ : ∂B/∂t ≈ dB |v c | /2p. L’intégrale de
surface est proportionnelle au carré du rayon de Larmor, lui même proportionnel à
l’énergie cyclotronique. La variation d’énergie cyclotronique induite par un champ
lentement variable vérifie donc :
dW c =
W c
B
dB → d
W c
B
= dm = 0
Le moment magnétique orbital d’une particule est un invariant adiabatique, c’est-àdire un invariant sous l’hypothèse d’adiabaticité de la variation temporelle du champ.
Reformulée en terme de vitesse cyclotronique, ce résultat s’exprime par la relation :
V
2
c (t)/B(t) = V
2
c (t 0 )/B(t 0 ). La variation temporelle du champ magnétique se traduit
par un ajustement continu du mouvement cyclotronique afin de préserver le moment
magnétique ; ajustement contrôlé par le champ électrique d’induction.
5.1.3 Force diamagnétique
Intéressons-nous maintenant au cas d’une variation spatiale du champ magnétique.
Considérons un champ magnétique stationnaire possédant une symétrie de rotation
autour de l’axe des z et étudions le mouvement d’un électron, de masse m et de
charge q, au voisinage de cet axe de symétrie. Afin de simplifier l’étude de ce mouvement, effectuons un développement de Taylor du champ, à partir d’un point de référence sur l’axe des z, au voisinage de l’axe des z ; l’équation de Maxwell : ∇·B = 0
permet d’exprimer les dérivés du champ suivant z en fonction des dérivés suivant x
et y où x et y constituent un système de coordonnées orthogonales dans le plan perpendiculaire au champ magnétique. Ainsi, la forme générale, au voisinage de l’axe,
d’un champ possédant une symétrie de révolution, est donnée par :
B
1 +
z
L
u z − B
x
2L
u x − B
y
2L
u y
où B est la valeur du champ sur l’axe au point de référence du développement,
L = B/∂ B/∂z est une longueur caractérisant la convergence ou la divergence des
lignes de champ voisines de l’axe et
u x , u y , u z
est une base cartésienne orthonormée directe. L’équation de Newton se réduit à l’identité entre l’accélération et la
force de Laplace que divise la masse.
dV
dt
= v c V × u z + v c V ×
z
L
u z −
x
2L
u x −
y
2L
u y
où V est la vitesse de la particule et v c = q B/m la pulsation cyclotronique. Nous
allons résoudre cette équation dans le cadre d’une méthode perturbative, le petit paramètre du développement perturbatif est donné par le rapport du rayon de Larmor au
voisinage de l’axe divisé par la longueur L. À l’ordre le plus bas (L = ±∞), le
champ est considéré comme homogène et le mouvement est la combinaison d’une
translation uniforme le long des lignes de champ et d’une rotation uniforme autour
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
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de l’adiabaticité de l’évolution du champ : ∂B/∂t ≈ dB |v c | /2p. L’intégrale de
surface est proportionnelle au carré du rayon de Larmor, lui même proportionnel à
l’énergie cyclotronique. La variation d’énergie cyclotronique induite par un champ
lentement variable vérifie donc :
dW c =
W c
B
dB → d
W c
B
= dm = 0
Le moment magnétique orbital d’une particule est un invariant adiabatique, c’est-àdire un invariant sous l’hypothèse d’adiabaticité de la variation temporelle du champ.
Reformulée en terme de vitesse cyclotronique, ce résultat s’exprime par la relation :
V
2
c (t)/B(t) = V
2
c (t 0 )/B(t 0 ). La variation temporelle du champ magnétique se traduit
par un ajustement continu du mouvement cyclotronique afin de préserver le moment
magnétique ; ajustement contrôlé par le champ électrique d’induction.
5.1.3 Force diamagnétique
Intéressons-nous maintenant au cas d’une variation spatiale du champ magnétique.
Considérons un champ magnétique stationnaire possédant une symétrie de rotation
autour de l’axe des z et étudions le mouvement d’un électron, de masse m et de
charge q, au voisinage de cet axe de symétrie. Afin de simplifier l’étude de ce mouvement, effectuons un développement de Taylor du champ, à partir d’un point de référence sur l’axe des z, au voisinage de l’axe des z ; l’équation de Maxwell : ∇·B = 0
permet d’exprimer les dérivés du champ suivant z en fonction des dérivés suivant x
et y où x et y constituent un système de coordonnées orthogonales dans le plan perpendiculaire au champ magnétique. Ainsi, la forme générale, au voisinage de l’axe,
d’un champ possédant une symétrie de révolution, est donnée par :
B
1 +
z
L
u z − B
x
2L
u x − B
y
2L
u y
où B est la valeur du champ sur l’axe au point de référence du développement,
L = B/∂ B/∂z est une longueur caractérisant la convergence ou la divergence des
lignes de champ voisines de l’axe et
u x , u y , u z
est une base cartésienne orthonormée directe. L’équation de Newton se réduit à l’identité entre l’accélération et la
force de Laplace que divise la masse.
dV
dt
= v c V × u z + v c V ×
z
L
u z −
x
2L
u x −
y
2L
u y
où V est la vitesse de la particule et v c = q B/m la pulsation cyclotronique. Nous
allons résoudre cette équation dans le cadre d’une méthode perturbative, le petit paramètre du développement perturbatif est donné par le rapport du rayon de Larmor au
voisinage de l’axe divisé par la longueur L. À l’ordre le plus bas (L = ±∞), le
champ est considéré comme homogène et le mouvement est la combinaison d’une
translation uniforme le long des lignes de champ et d’une rotation uniforme autour
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit