4.4 Théorie du libre parcours moyen
137
La vitesse microscopique, sur une distance z plus petite que le libre parcours moyen,
a donc pour expression :
v (z) ≈ v (0) + z
dv
dz
0
→ v (z) − v (0) ≈
ez
mv (0)
E
zl
La vitesse macroscopique est obtenue comme la moyenne de la somme des vitesses
microscopiques v (z). Le flux microscopique se dirigeant du plan z = l vers
le plan z = 0 donne une contribution v 0← (0) ≈ v (l) − elE/mv et le flux
de particules se dirigeant du plan z = −l vers le plan z = 0 une contribution
v →0 (0) ≈ v (−l) + elE/mv ; ainsi la vitesse résultante dans le plan z = 0 est
obtenue comme la moyenne de ces deux flux :
v (0) = v →0 (0) − v 0← (0) =
2el
m
1
v
E
en effet, v (−l) = v (+l). L’effet des collisions est donc d’inhiber le développement d’une accélération constante et de ramener le mouvement macroscopique à une
translation uniforme proportionnelle au champ électrique. Le coefficient de proportionnalité entre champ et vitesse définit la mobilité, m, de l’espèce considérée.
m =
e
m
l
2
v
(4.35)
Le calcul du coefficient de mobilité, qui vient d’être présenté ici, suppose implicitement que le champ électrique perturbe faiblement la population de particules chargées, c’est-à-dire que la vitesse de dérive engendrée par le champ est plus faible que
la vitesse moyenne d’agitation thermique.
m i E 15 km·s
−1
×
T i
[1 eV]
,
m e E 671 km·s
−1
×
T e
[1 eV]
La figure 4.19 présente les vitesses de dérive des électrons et des ions en fonction
du champ électrique que divise la pression : E/P, les bandes ionique et électronique
correspondent à la dispersion des valeurs due à la prise en compte de l’ensemble des
gaz atomique et moléculaire usuels. La dispersion est plus faible pour les électrons et
pour les ions ; la borne supérieure correspond aux éléments légers tel que l’hydrogène
et l’hélium, la borne inférieure aux éléments lourds tels que le mercure ou le xénon.
On voit, sur cette figure 4.19, que la condition de perturbation faible est violée pour
des valeurs du paramètre E/P supérieures à 10 [V/cm×torr] pour les ions et supérieures à 1 [V/cm×torr] pour les électrons ; à partir de ces valeurs, la pente de la
courbe apparaît plus infléchie, une analyse quantitative de cette tendance confirme
cette observation et indique qu’une vitesse de dérive proportionnelle à la racine carré
du champ est plus appropriée pour décrire l’effet des champs forts, ou des faibles
pressions. Un critère permettant de discriminer les régimes de champs faibles des
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
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La vitesse microscopique, sur une distance z plus petite que le libre parcours moyen,
a donc pour expression :
v (z) ≈ v (0) + z
dv
dz
0
→ v (z) − v (0) ≈
ez
mv (0)
E
zl
La vitesse macroscopique est obtenue comme la moyenne de la somme des vitesses
microscopiques v (z). Le flux microscopique se dirigeant du plan z = l vers
le plan z = 0 donne une contribution v 0← (0) ≈ v (l) − elE/mv et le flux
de particules se dirigeant du plan z = −l vers le plan z = 0 une contribution
v →0 (0) ≈ v (−l) + elE/mv ; ainsi la vitesse résultante dans le plan z = 0 est
obtenue comme la moyenne de ces deux flux :
v (0) = v →0 (0) − v 0← (0) =
2el
m
1
v
E
en effet, v (−l) = v (+l). L’effet des collisions est donc d’inhiber le développement d’une accélération constante et de ramener le mouvement macroscopique à une
translation uniforme proportionnelle au champ électrique. Le coefficient de proportionnalité entre champ et vitesse définit la mobilité, m, de l’espèce considérée.
m =
e
m
l
2
v
(4.35)
Le calcul du coefficient de mobilité, qui vient d’être présenté ici, suppose implicitement que le champ électrique perturbe faiblement la population de particules chargées, c’est-à-dire que la vitesse de dérive engendrée par le champ est plus faible que
la vitesse moyenne d’agitation thermique.
m i E 15 km·s
−1
×
T i
[1 eV]
,
m e E 671 km·s
−1
×
T e
[1 eV]
La figure 4.19 présente les vitesses de dérive des électrons et des ions en fonction
du champ électrique que divise la pression : E/P, les bandes ionique et électronique
correspondent à la dispersion des valeurs due à la prise en compte de l’ensemble des
gaz atomique et moléculaire usuels. La dispersion est plus faible pour les électrons et
pour les ions ; la borne supérieure correspond aux éléments légers tel que l’hydrogène
et l’hélium, la borne inférieure aux éléments lourds tels que le mercure ou le xénon.
On voit, sur cette figure 4.19, que la condition de perturbation faible est violée pour
des valeurs du paramètre E/P supérieures à 10 [V/cm×torr] pour les ions et supérieures à 1 [V/cm×torr] pour les électrons ; à partir de ces valeurs, la pente de la
courbe apparaît plus infléchie, une analyse quantitative de cette tendance confirme
cette observation et indique qu’une vitesse de dérive proportionnelle à la racine carré
du champ est plus appropriée pour décrire l’effet des champs forts, ou des faibles
pressions. Un critère permettant de discriminer les régimes de champs faibles des
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit