4.2 Collisions élastiques
117
Le calcul du transfert d’impulsion est similaire au cas ionique précédent (relations
4.14), ainsi la projection de l’accélération coulombienne parallèlement et perpendiculairement à b permet d’exprimer les variations de vitesse de l’électron dv et dv ⊥ .
dv = 0,
dv ⊥ =
+∞
−∞
dt
Ze
2 b
4p´ 0 m e
v 2 t 2 + b 2
3
2
=
Ze
2
2p´ 0 m e bv
où r (t) =
√ v 2 t 2 + b 2 est la distance électron-ion à l’instant t (Figure 4.8).
L’angle de déflexion de la trajectoire électronique par rapport à sa direction initiale,
du(v, b), est égal à dv ⊥ /v.
du
2 (v, b) =
Z
2 e
4
4p 2 ´ 2
0 m 2
e v 4 b 2
(4.19)
Cet angle de diffusion devient infini aux petites distances, lorsque b tend vers zéro. Il
convient donc de régulariser ce comportement en introduisant la longueur de Landau
l Le , ou la longueur de Broglie l Be .
l C = max
l Le (v e ) =
Ze
2
2p´ 0 m e v 2
e
≈
10 −9 [m]
T e [eV]
, l Be (v e ) =
m e v e
≈
10 −10 [m]
√
T e [eV]
Cette distance l C est une distance minimale d’approche classique ; les interactions
particule-particule sont à prendre en compte au voisinage de chaque électron à l’intérieur de la sphère de Debye et à l’extérieur de la sphère de Landau ou de la sphère
de Broglie. Durant un temps infinitésimal dt l’électron est en interaction avec les
ions contenus dans un volume cylindrique de hauteur vdt ; la déflexion quadratique
moyenne est obtenue en sommant sur tous les ions en interaction durant l’incrément
de temps dt, ce nombre total d’ions est donné par n i
lD
lC
vdt2pbdb ;
du
2 (v, dt) =
lD
lC
Z
2 e
4
4p 2 ´ 2
0 m 2
e v 4 b 2 n i vdt2pbdb →
du
2
dt
=
n i Z
2 e
4
L
2p´ 2
0 m 2
e v 3 = n ei (4.20)
n i est la densité ionique du plasma et nous avons introduit L, le logarithme coulombien pour les transfert d’impulsion électron-ion.
T e 50eV
T e 50eV
→ L = log
l D /l C
≈
23.4
25.3
−1, 15×ln n e
cm
−3
+
3.45
2.30
×ln T e [eV]
Nous avons ainsi régularisé le calcul de la fréquence de transfert d’impulsion décrivant l’isotropisation des vitesses électroniques résultant de la diffusion Rutherford
sur les ions. Cette fréquence est extrêmement importante en physique des plasmas
complètement ionisés car elle détermine les conductivités électrique et thermique
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
117
Le calcul du transfert d’impulsion est similaire au cas ionique précédent (relations
4.14), ainsi la projection de l’accélération coulombienne parallèlement et perpendiculairement à b permet d’exprimer les variations de vitesse de l’électron dv et dv ⊥ .
dv = 0,
dv ⊥ =
+∞
−∞
dt
Ze
2 b
4p´ 0 m e
v 2 t 2 + b 2
3
2
=
Ze
2
2p´ 0 m e bv
où r (t) =
√ v 2 t 2 + b 2 est la distance électron-ion à l’instant t (Figure 4.8).
L’angle de déflexion de la trajectoire électronique par rapport à sa direction initiale,
du(v, b), est égal à dv ⊥ /v.
du
2 (v, b) =
Z
2 e
4
4p 2 ´ 2
0 m 2
e v 4 b 2
(4.19)
Cet angle de diffusion devient infini aux petites distances, lorsque b tend vers zéro. Il
convient donc de régulariser ce comportement en introduisant la longueur de Landau
l Le , ou la longueur de Broglie l Be .
l C = max
l Le (v e ) =
Ze
2
2p´ 0 m e v 2
e
≈
10 −9 [m]
T e [eV]
, l Be (v e ) =
m e v e
≈
10 −10 [m]
√
T e [eV]
Cette distance l C est une distance minimale d’approche classique ; les interactions
particule-particule sont à prendre en compte au voisinage de chaque électron à l’intérieur de la sphère de Debye et à l’extérieur de la sphère de Landau ou de la sphère
de Broglie. Durant un temps infinitésimal dt l’électron est en interaction avec les
ions contenus dans un volume cylindrique de hauteur vdt ; la déflexion quadratique
moyenne est obtenue en sommant sur tous les ions en interaction durant l’incrément
de temps dt, ce nombre total d’ions est donné par n i
lD
lC
vdt2pbdb ;
du
2 (v, dt) =
lD
lC
Z
2 e
4
4p 2 ´ 2
0 m 2
e v 4 b 2 n i vdt2pbdb →
du
2
dt
=
n i Z
2 e
4
L
2p´ 2
0 m 2
e v 3 = n ei (4.20)
n i est la densité ionique du plasma et nous avons introduit L, le logarithme coulombien pour les transfert d’impulsion électron-ion.
T e 50eV
T e 50eV
→ L = log
l D /l C
≈
23.4
25.3
−1, 15×ln n e
cm
−3
+
3.45
2.30
×ln T e [eV]
Nous avons ainsi régularisé le calcul de la fréquence de transfert d’impulsion décrivant l’isotropisation des vitesses électroniques résultant de la diffusion Rutherford
sur les ions. Cette fréquence est extrêmement importante en physique des plasmas
complètement ionisés car elle détermine les conductivités électrique et thermique
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit