114
4 • Collisions et réactions
où r (t) =
√ v 2 t 2 + b 2 est la distance ion-électron à l’instant t. La projection de l’accélération coulombienne parallèlement et perpendiculairement à la vitesse ionique v
permet d’exprimer les deux composantes m e dv et m e dv ⊥ de ce transfert d’impulsion.
dv = (dv.v)
v
v 2 = −
v
4p´ 0 m e
+∞
−∞
Ze
2 t
v 2 t 2 + b 2
3
2
dt = 0
(4.14)
dv ⊥ =
v × (dv × v)
v 2
=
b
4p´ 0 m e
+∞
−∞
Ze
2
v 2 t 2 + b 2
3
2
dt =
Ze
2
2p´ 0 m e b 2 v
b
L’énergie d´(v, b), transférée à l’électron, par l’ion, est donnée par la valeur de l’énergie cinétique associée à dv ⊥ .
d´(v, b) =
1
2
m e dv
2
⊥
=
Z
2 e
4
8p 2 ´ 2
0 m e v 2 b 2
(4.15)
Ce transfert d’énergie devient infini aux petites distances, lorsque b tend vers zéro, il
convient donc de régulariser ce comportement.
Pour ce faire,
• introduisons la longueur de Landau l L telle que l’énergie transférée à l’électron
soit égale à l’énergie de l’ion incident : d´(v, l Li ) = m i v
2
/2 ; ou,
• considérons la longueur d’onde de Broglie l B associée au mouvement ionique :
l Bi = /m i v i .
Ces deux choix délimitent des coupures en deçà desquelles le modèle précédent n’est
plus valide. Au-dessous de la plus grande de ces deux longueurs, la formule (4.15)
n’est plus valable ; nous définissons ainsi une longueur de coupure inférieure l C .
l C ≡ max
l Li (v i ) =
Ze
2
2p´ 0
√ m e m i v 2
i
, l Bi (v i ) =
m i v i
(4.16)
Cette distance l C est donc une distance minimale d’approche.
Les interactions particule chargée-particule chargée seront à prendre en
compte, au voisinage de chaque particule, à l’intérieur de la sphère de Debye
et à l’extérieur de la sphère de Landau ou de la sphère de Broglie.
Durant un temps dt l’ion est en interaction avec les électrons contenus dans un
volume cylindrique de hauteur vdt (Figure 4.7).
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
4 • Collisions et réactions
où r (t) =
√ v 2 t 2 + b 2 est la distance ion-électron à l’instant t. La projection de l’accélération coulombienne parallèlement et perpendiculairement à la vitesse ionique v
permet d’exprimer les deux composantes m e dv et m e dv ⊥ de ce transfert d’impulsion.
dv = (dv.v)
v
v 2 = −
v
4p´ 0 m e
+∞
−∞
Ze
2 t
v 2 t 2 + b 2
3
2
dt = 0
(4.14)
dv ⊥ =
v × (dv × v)
v 2
=
b
4p´ 0 m e
+∞
−∞
Ze
2
v 2 t 2 + b 2
3
2
dt =
Ze
2
2p´ 0 m e b 2 v
b
L’énergie d´(v, b), transférée à l’électron, par l’ion, est donnée par la valeur de l’énergie cinétique associée à dv ⊥ .
d´(v, b) =
1
2
m e dv
2
⊥
=
Z
2 e
4
8p 2 ´ 2
0 m e v 2 b 2
(4.15)
Ce transfert d’énergie devient infini aux petites distances, lorsque b tend vers zéro, il
convient donc de régulariser ce comportement.
Pour ce faire,
• introduisons la longueur de Landau l L telle que l’énergie transférée à l’électron
soit égale à l’énergie de l’ion incident : d´(v, l Li ) = m i v
2
/2 ; ou,
• considérons la longueur d’onde de Broglie l B associée au mouvement ionique :
l Bi = /m i v i .
Ces deux choix délimitent des coupures en deçà desquelles le modèle précédent n’est
plus valide. Au-dessous de la plus grande de ces deux longueurs, la formule (4.15)
n’est plus valable ; nous définissons ainsi une longueur de coupure inférieure l C .
l C ≡ max
l Li (v i ) =
Ze
2
2p´ 0
√ m e m i v 2
i
, l Bi (v i ) =
m i v i
(4.16)
Cette distance l C est donc une distance minimale d’approche.
Les interactions particule chargée-particule chargée seront à prendre en
compte, au voisinage de chaque particule, à l’intérieur de la sphère de Debye
et à l’extérieur de la sphère de Landau ou de la sphère de Broglie.
Durant un temps dt l’ion est en interaction avec les électrons contenus dans un
volume cylindrique de hauteur vdt (Figure 4.7).
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit