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4 • Collisions et réactions
Pour les potentiels isotropes, les intégrales premières de l’énergie et du moment cinétique permettent de ramener l’évaluation de l’angle de déflexion u à une quadrature.
Pour cela, il est utile de considérer un système de coordonnées polaires (r , w) dans le
plan (v, b). La conservation du moment cinétique mvb et la conservation de l’énergie
mv
2
/2 + U (r ) s’exprime alors par les deux relations :
vb = r
2 dw
dt
,
v
2
=
dr
dt
2
+ r
2
dw
dt
2
+
2
m
U (r )
où U (r ) est l’énergie potentielle d’interaction, v la vitesse loin de la cible avant
la collision et b le paramètre d’impact. Le facteur dt peut être éliminé entre ces
deux intégrales premières afin d’exprimer l’équation polaire de la trajectoire w (r ).
L’angle de déflexion u est alors obtenu en sommant les déflexions infinitésimales dw
sur l’ensemble de la trajectoire.
dw =
±bdr
r 2
1 −
2U (r)
mv 2 −
b 2
r 2
→ u (b, v) = p − 2
+∞
rm
bdr
r 2
1 −
2U (r)
mv 2 −
b 2
r 2
(4.9)
où r m est le rayon minimal d’approche obtenu sur la base de la conservation de l’énergie mv
2
1 − b
2
/r
2
m
= 2U (r m ). Compte tenu : (i) de la valeur de l’angle solide de
déflexion (Figure 4.5) dV = sin ududw → dV = 2p sin udu (ce deuxième cas
est aussi restreint aux problèmes isotropes que nous considérerons dans la suite) et
(ii) de la valeur de l’élément de surface d’interception correspondant (Figure 4.5)
d S = bdbdw → d S = 2pbdb (ce deuxième cas est aussi restreint aux problèmes
isotropes que nous considérerons dans la suite), la conservation du nombre de particules permet d’établir la relation entre la section efficace et l’angle de déflexion.
D’une part, la définition de la section efficace de diffusion angulaire (4.4) établit une
première relation entre les nombres de particules incidentes d N in et diffusées d N out .
D’autre part, la relation de conservation du nombre de particule implique : d N in | d S
= d N out | dV (Figure 4.5).
ds
dV
≡
Nombre de particules diffusés
Par unité d’angle solide dV et unité de temps dt
Nombre de particule incidentes
Par unité de surface d S et unité de temps dt
=
d Nout
dVdt
d Nin
d Sdt
=
d S
dV
=
2pbdb
2p sin udu
=
b
sin u
du
db
−1
Pour la clarté du schéma, sur la figure 4.5 nous avons représenté un angle solide
élementaire dV = dw sin udu et une surface d S = dwbdb. Nous avons ainsi établi
la formule classique donnant la section efficace différentielle classique en fonction
de l’angle de déflexion. Le paramètre d’impact b étant exprimé en fonction de l’angle
de déflexion et de la vitesse à partir de la relation u (b, v) (4.9). Partant de ce résultat,
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
4 • Collisions et réactions
Pour les potentiels isotropes, les intégrales premières de l’énergie et du moment cinétique permettent de ramener l’évaluation de l’angle de déflexion u à une quadrature.
Pour cela, il est utile de considérer un système de coordonnées polaires (r , w) dans le
plan (v, b). La conservation du moment cinétique mvb et la conservation de l’énergie
mv
2
/2 + U (r ) s’exprime alors par les deux relations :
vb = r
2 dw
dt
,
v
2
=
dr
dt
2
+ r
2
dw
dt
2
+
2
m
U (r )
où U (r ) est l’énergie potentielle d’interaction, v la vitesse loin de la cible avant
la collision et b le paramètre d’impact. Le facteur dt peut être éliminé entre ces
deux intégrales premières afin d’exprimer l’équation polaire de la trajectoire w (r ).
L’angle de déflexion u est alors obtenu en sommant les déflexions infinitésimales dw
sur l’ensemble de la trajectoire.
dw =
±bdr
r 2
1 −
2U (r)
mv 2 −
b 2
r 2
→ u (b, v) = p − 2
+∞
rm
bdr
r 2
1 −
2U (r)
mv 2 −
b 2
r 2
(4.9)
où r m est le rayon minimal d’approche obtenu sur la base de la conservation de l’énergie mv
2
1 − b
2
/r
2
m
= 2U (r m ). Compte tenu : (i) de la valeur de l’angle solide de
déflexion (Figure 4.5) dV = sin ududw → dV = 2p sin udu (ce deuxième cas
est aussi restreint aux problèmes isotropes que nous considérerons dans la suite) et
(ii) de la valeur de l’élément de surface d’interception correspondant (Figure 4.5)
d S = bdbdw → d S = 2pbdb (ce deuxième cas est aussi restreint aux problèmes
isotropes que nous considérerons dans la suite), la conservation du nombre de particules permet d’établir la relation entre la section efficace et l’angle de déflexion.
D’une part, la définition de la section efficace de diffusion angulaire (4.4) établit une
première relation entre les nombres de particules incidentes d N in et diffusées d N out .
D’autre part, la relation de conservation du nombre de particule implique : d N in | d S
= d N out | dV (Figure 4.5).
ds
dV
≡
Nombre de particules diffusés
Par unité d’angle solide dV et unité de temps dt
Nombre de particule incidentes
Par unité de surface d S et unité de temps dt
=
d Nout
dVdt
d Nin
d Sdt
=
d S
dV
=
2pbdb
2p sin udu
=
b
sin u
du
db
−1
Pour la clarté du schéma, sur la figure 4.5 nous avons représenté un angle solide
élementaire dV = dw sin udu et une surface d S = dwbdb. Nous avons ainsi établi
la formule classique donnant la section efficace différentielle classique en fonction
de l’angle de déflexion. Le paramètre d’impact b étant exprimé en fonction de l’angle
de déflexion et de la vitesse à partir de la relation u (b, v) (4.9). Partant de ce résultat,
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit