94
3 • Phénomènes collectifs
x = x 0 + dx 0 +j (x 0 , t) + ∂j/∂x 0 dx 0 .
Loi de Newton pour les ions :
∂
2
j (x 0 , t)
∂t 2
= −
e
m i
∂f(x, t)
∂x
Relation de Boltzmann pour les électrons : n e (x, t) = n 0 exp
ef(x, t)
kT e
Conservation de la charge ionique : n i (x, t) =
n 0
1 +
∂j
∂x0
(3.15)
Nous obtenons ainsi un système différentiel non-linéaire décrivant le déplacement
ionique j. Sous sa forme non-linéaire ce système peut être utilisé pour décrire des
structures ioniques non-linéaires. Nous considérons ici le cas de perturbations de
faible amplitude, nous linéarisons donc ce système afin d’extraire l’échelle caractéristique de la réponse ionique.
Quasi-neutralité : n e = n i →
∂j (x 0 , t)
∂x 0
= exp
−
ef(x, t)
kT e
− 1 ≈ −
ef(x, t)
kT e
L’élimination du potentiel et la linéarisation mènent à l’écriture d’une équation
d’onde :
∂
2
j (x 0 , t)
∂x 2
0
= C
−2
s
∂
2
j (x 0 , t)
∂t 2
(3.16)
La réponse ionique est donc caractérisée, non pas par une échelle de temps ou de
longueur, mais par une vitesse caractéristique, la vitesse acoustique ionique C s . Les
ondes acoustiques ioniques sont ainsi identifiées comme le processus de réponse
quasi-neutre à une perturbation de pression, ou de vitesse, lente ; la prise en compte
de la température ionique, dans les plasmas chauds, ne pose pas de problèmes et ne
modifie pas l’ordre de grandeur de cette vitesse acoustique.
3.5.2 Vitesse de Bohm
La vitesse acoustique ionique est aussi appelée vitesse de Bohm dans le contexte de
la théorie de Bohm de la transition plasma/gaine présentée dans le chapitre consacré
aux structures électriques. Nous ne développerons pas cette théorie ici, nous démontrerons simplement que l’écoulement d’un plasma quasi-neutre présente une singularité lorsque la vitesse ionique est égale la vitesse de Bohm. Soit donc un écoulement
décrit par la vitesse des ions v i , la densité ionique n i , et la pression ionique P i . Ces
ions sont générés à travers un mécanisme d’ionisation, dont nous ne préciserons pas
l’origine, mais seulement le taux de production par unité de temps et unité de volume
S i ; les ions étant créés au repos, ce terme, source de matière, est un terme de perte
de quantité de mouvement car, si l’on considère un fluide de vitesse v i , l’apparition
d’ions au repos dans cet écoulement implique un transfert d’impulsion des autres
ions en mouvement vers ces nouveaux ions au repos afin d’entretenir la vitesse de
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
3 • Phénomènes collectifs
x = x 0 + dx 0 +j (x 0 , t) + ∂j/∂x 0 dx 0 .
Loi de Newton pour les ions :
∂
2
j (x 0 , t)
∂t 2
= −
e
m i
∂f(x, t)
∂x
Relation de Boltzmann pour les électrons : n e (x, t) = n 0 exp
ef(x, t)
kT e
Conservation de la charge ionique : n i (x, t) =
n 0
1 +
∂j
∂x0
(3.15)
Nous obtenons ainsi un système différentiel non-linéaire décrivant le déplacement
ionique j. Sous sa forme non-linéaire ce système peut être utilisé pour décrire des
structures ioniques non-linéaires. Nous considérons ici le cas de perturbations de
faible amplitude, nous linéarisons donc ce système afin d’extraire l’échelle caractéristique de la réponse ionique.
Quasi-neutralité : n e = n i →
∂j (x 0 , t)
∂x 0
= exp
−
ef(x, t)
kT e
− 1 ≈ −
ef(x, t)
kT e
L’élimination du potentiel et la linéarisation mènent à l’écriture d’une équation
d’onde :
∂
2
j (x 0 , t)
∂x 2
0
= C
−2
s
∂
2
j (x 0 , t)
∂t 2
(3.16)
La réponse ionique est donc caractérisée, non pas par une échelle de temps ou de
longueur, mais par une vitesse caractéristique, la vitesse acoustique ionique C s . Les
ondes acoustiques ioniques sont ainsi identifiées comme le processus de réponse
quasi-neutre à une perturbation de pression, ou de vitesse, lente ; la prise en compte
de la température ionique, dans les plasmas chauds, ne pose pas de problèmes et ne
modifie pas l’ordre de grandeur de cette vitesse acoustique.
3.5.2 Vitesse de Bohm
La vitesse acoustique ionique est aussi appelée vitesse de Bohm dans le contexte de
la théorie de Bohm de la transition plasma/gaine présentée dans le chapitre consacré
aux structures électriques. Nous ne développerons pas cette théorie ici, nous démontrerons simplement que l’écoulement d’un plasma quasi-neutre présente une singularité lorsque la vitesse ionique est égale la vitesse de Bohm. Soit donc un écoulement
décrit par la vitesse des ions v i , la densité ionique n i , et la pression ionique P i . Ces
ions sont générés à travers un mécanisme d’ionisation, dont nous ne préciserons pas
l’origine, mais seulement le taux de production par unité de temps et unité de volume
S i ; les ions étant créés au repos, ce terme, source de matière, est un terme de perte
de quantité de mouvement car, si l’on considère un fluide de vitesse v i , l’apparition
d’ions au repos dans cet écoulement implique un transfert d’impulsion des autres
ions en mouvement vers ces nouveaux ions au repos afin d’entretenir la vitesse de
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit