3.5 Perturbation ionique
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l’écoulement au niveau v i . Ainsi, les équations de conservation de la charge et de la
quantité de mouvement prennent la forme suivante :
Conservation de la charge :
d
dx
[n i v i ] = S i
Équation d’Euler : m i n i v i
dv i
dx
= −
d P i
dx
+ en i E − m i v i S i
Relation de Boltzmann : n e = n 0 exp
ef
kT e
→ en e E = −kT e
dn e
dx
Quasi-neutralité : n e = n i
(3.17)
Les espèces chargées étant créées à vitesse nulle, leur transfert dans l’écoulement
est un terme de perte pour l’équation de conservation de l’impulsion, alors qu’il est
un terme source pour l’équation de conservation du nombre de particules. Le champ
électrique E = −df/dx n’est pas appliqué de l’extérieur mais résulte de la séparation de charge induite par la différence d’inertie entre électrons et ions. Du fait
de leur faible inertie les électrons ont une distribution d’équilibre dans le potentiel f décrivant ce champ électrique E. Les hypothèses de quasi-neutralité n e = n i
et d’homogénéité des températures ionique et électronique permettent d’éliminer le
potentiel dans l’équation du mouvement ionique.
n i v i
dv i
dx
= −C
2
s
dn i
dx
− v i S i
où nous avons supposé T e > T i . Définissons le nombre de Mach comme le rapport
de la vitesse ionique sur la vitesse acoustique ionique : M = v i /C s . Les équations
de conservation de la charge et de l’impulsion sont alors données par :
Conservation de la charge : M
dn i
dx
+ n i
d M
dx
=
S i
C s
Conservation de l’impulsion : n i M
d M
dx
+
dn i
dx
= −M
S i
C s
La densité ionique est ensuite éliminée entre ces équations de conservation de la
charge et de l’impulsion, et le gradient de vitesse résultant de la génération des
charges, peut être exprimé comme :
d M
dx
=
S i
n i C s
1 + M
2
1 − M 2
(3.19)
Cette dernière équation est tout a fait générale et ne présuppose pas un mécanisme
particulier d’ionisation, son caractère universel permet de tirer une conclusion de
portée générale sur les écoulements plasma dans une zone d’ionisation : lorsque
M = 1, c’est-à-dire lorsque la vitesse ionique égale la vitesse de Bohm, le gradient
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
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l’écoulement au niveau v i . Ainsi, les équations de conservation de la charge et de la
quantité de mouvement prennent la forme suivante :
Conservation de la charge :
d
dx
[n i v i ] = S i
Équation d’Euler : m i n i v i
dv i
dx
= −
d P i
dx
+ en i E − m i v i S i
Relation de Boltzmann : n e = n 0 exp
ef
kT e
→ en e E = −kT e
dn e
dx
Quasi-neutralité : n e = n i
(3.17)
Les espèces chargées étant créées à vitesse nulle, leur transfert dans l’écoulement
est un terme de perte pour l’équation de conservation de l’impulsion, alors qu’il est
un terme source pour l’équation de conservation du nombre de particules. Le champ
électrique E = −df/dx n’est pas appliqué de l’extérieur mais résulte de la séparation de charge induite par la différence d’inertie entre électrons et ions. Du fait
de leur faible inertie les électrons ont une distribution d’équilibre dans le potentiel f décrivant ce champ électrique E. Les hypothèses de quasi-neutralité n e = n i
et d’homogénéité des températures ionique et électronique permettent d’éliminer le
potentiel dans l’équation du mouvement ionique.
n i v i
dv i
dx
= −C
2
s
dn i
dx
− v i S i
où nous avons supposé T e > T i . Définissons le nombre de Mach comme le rapport
de la vitesse ionique sur la vitesse acoustique ionique : M = v i /C s . Les équations
de conservation de la charge et de l’impulsion sont alors données par :
Conservation de la charge : M
dn i
dx
+ n i
d M
dx
=
S i
C s
Conservation de l’impulsion : n i M
d M
dx
+
dn i
dx
= −M
S i
C s
La densité ionique est ensuite éliminée entre ces équations de conservation de la
charge et de l’impulsion, et le gradient de vitesse résultant de la génération des
charges, peut être exprimé comme :
d M
dx
=
S i
n i C s
1 + M
2
1 − M 2
(3.19)
Cette dernière équation est tout a fait générale et ne présuppose pas un mécanisme
particulier d’ionisation, son caractère universel permet de tirer une conclusion de
portée générale sur les écoulements plasma dans une zone d’ionisation : lorsque
M = 1, c’est-à-dire lorsque la vitesse ionique égale la vitesse de Bohm, le gradient
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit