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3 • Phénomènes collectifs
La densité de force de Laplace J × B peut s’exprimer en fonction du champ magnétique grâce à l’équation de Maxwell-Ampère.
∇ × B
m 0
× B = −
1
2m 0
∂ B
2 (x, t)
∂x
u x
Cette densité volumique de force divisée par la densité ionique est égale à l’accélération ionique que multiplie la masse ionique.
Loi de Newton : m i
∂
2
j
∂t 2 = −
1
2n 0 m 0
1 +
∂j
∂x 0
∂ B
2 (x, t)
∂x
.
Nous avons deux inconnues : une inconnue lagrangienne et une inconnue eulérienne,
le déplacement j (x 0 , t) et le champ B(x, t). Il nous faut donc deux équations. Dans
le repère propre de chaque élément de plasma, si la perturbation est plus lente que
la période plasma, les électrons ont tendance à écranter le champ électrique sur une
échelle de longueur plus grande que la longueur de Debye, il en résulte une quasinullité du champ électrique dans ce repère ; le champ électrique dans le repère au
repos de chaque tranche de plasma est donné par la relation (2.1). Cette hypothèse
d’écrantage dynamique, ou de réponse magnétohydrodynamique idéale, se traduit
par :
Écrantage dynamique : E +
∂j
∂t
u x × B = 0
Équation de Maxwell-Faraday : ∇ × E = −
∂B
∂t
Introduisons la vitesse d’Alfvén : V A = B 0 /
√
m 0 n i m i , l’équation Maxwell-Faraday
permet alors d’écrire un système différentiel fermé décrivant la dynamique d’une
perturbation magnétique dans un plasma magnétisé.
∂ B
∂x
= −
1
V 2
A
B
2
0
B
∂
2
j
∂t 2
1 +
∂j
∂x 0
−1
,
∂ B
∂t
= −
∂
2
j
∂t∂x
B −
∂j
∂t
∂ B
∂x
Ce système non-linéaire peut être utilisé pour identifier et décrire des structures
magnétique de type soliton. Nous considérons ici le cas de perturbations de faible
amplitude et nous linéarisons donc ce système au premier ordre j pour obtenir :
∂
2 B
∂x 2 = V
−2
A
∂
2 B
∂t 2
(3.13)
La vitesse d’Alfvén est donc, aussi, la vitesse caractéristique de propagation, perpendiculairement au champ statique, des perturbations magnétiques dans un plasma
magnétisé. Nous verrons dans le chapitre sur les ondes que cette même vitesse décrit
aussi le processus de propagation des perturbations magnétiques le long du champ
statique.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
3 • Phénomènes collectifs
La densité de force de Laplace J × B peut s’exprimer en fonction du champ magnétique grâce à l’équation de Maxwell-Ampère.
∇ × B
m 0
× B = −
1
2m 0
∂ B
2 (x, t)
∂x
u x
Cette densité volumique de force divisée par la densité ionique est égale à l’accélération ionique que multiplie la masse ionique.
Loi de Newton : m i
∂
2
j
∂t 2 = −
1
2n 0 m 0
1 +
∂j
∂x 0
∂ B
2 (x, t)
∂x
.
Nous avons deux inconnues : une inconnue lagrangienne et une inconnue eulérienne,
le déplacement j (x 0 , t) et le champ B(x, t). Il nous faut donc deux équations. Dans
le repère propre de chaque élément de plasma, si la perturbation est plus lente que
la période plasma, les électrons ont tendance à écranter le champ électrique sur une
échelle de longueur plus grande que la longueur de Debye, il en résulte une quasinullité du champ électrique dans ce repère ; le champ électrique dans le repère au
repos de chaque tranche de plasma est donné par la relation (2.1). Cette hypothèse
d’écrantage dynamique, ou de réponse magnétohydrodynamique idéale, se traduit
par :
Écrantage dynamique : E +
∂j
∂t
u x × B = 0
Équation de Maxwell-Faraday : ∇ × E = −
∂B
∂t
Introduisons la vitesse d’Alfvén : V A = B 0 /
√
m 0 n i m i , l’équation Maxwell-Faraday
permet alors d’écrire un système différentiel fermé décrivant la dynamique d’une
perturbation magnétique dans un plasma magnétisé.
∂ B
∂x
= −
1
V 2
A
B
2
0
B
∂
2
j
∂t 2
1 +
∂j
∂x 0
−1
,
∂ B
∂t
= −
∂
2
j
∂t∂x
B −
∂j
∂t
∂ B
∂x
Ce système non-linéaire peut être utilisé pour identifier et décrire des structures
magnétique de type soliton. Nous considérons ici le cas de perturbations de faible
amplitude et nous linéarisons donc ce système au premier ordre j pour obtenir :
∂
2 B
∂x 2 = V
−2
A
∂
2 B
∂t 2
(3.13)
La vitesse d’Alfvén est donc, aussi, la vitesse caractéristique de propagation, perpendiculairement au champ statique, des perturbations magnétiques dans un plasma
magnétisé. Nous verrons dans le chapitre sur les ondes que cette même vitesse décrit
aussi le processus de propagation des perturbations magnétiques le long du champ
statique.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit