3.4 Perturbation magnétique
89
dont l’épaisseur est de l’ordre de la longueur de London. Dans le cadre de la magnétohydrodynamique cette propriété sera redémontrée et constituera le théorème du gel
d’Alfvén.
3.4 PERTURBATION MAGNÉTIQUE
3.4.1 Vitesse d’Alfvén
Considérons toujours un plasma homogène, occupant le demi-espace x > 0, formé
d’électrons et d’ions ; le demi espace x < 0 est vide et soumis à un champ magnétique homogène dirigé suivant l’axe des z : B = B 0 u z . Le modèle précédent est
maintenant complété pour prendre en compte la dynamique ionique. Pour cela nous
allons inclure la force magnétique induite sur la population électronique. Cette force
génère un déplacement électronique supplémentaire, ce déplacement résulte en une
séparation de charge et cette séparation électrons-ions crée un champ électrique supplémentaire F u x .
Ce champ électrique met en mouvement les ions, l’écoulement ionique ainsi obtenu
est décrit par la vitesse eulérienne V i = V i u x . Les ions accompagnent donc le
mouvement des électrons suivant l’axe des x afin de préserver la quasi-neutralité
(Figure 3.9). Cette dynamique étant lente à l’échelle de l’inertie des électrons (v
−1
p ) il
est inutile de calculer le champ électrostatique dû à la séparation des charges suivant
l’axe des x et il est légitime de faire l’hypothèse de quasi-neutralité : n e = n i . Nous
devons donc résoudre le système d’équations suivant :
Équation de Maxwell-Ampère : ∇ × B = −m 0 n e eV e
Loi de Newton pour les électrons : m e
dV e
dt
= −eE − eV e × B
Équation d’Euler pour les ions : m i
∂V i
∂t
+ m i V i .∇V i = eE (3.11)
où le champ électrique, E = E u y + F u x , est la superposition d’une composante inductive E, résultant d’une variation de flux et d’une composante capacitive
F, résultant d’une séparation de charges. L’hypothèse de quasi-neutralité se traduit
par un mouvement commun des ions et des électrons. Cette dernière population se
réajuste sur une échelle de temps inertielle rapide (v
−1
p ), ce réarrangement rapide
permettant de préserver la quasi-neutralité. Comme nous étudions un processus lent,
il est légitime de négliger le terme inertiel suivant x dans l’équation décrivant la
dynamique électronique (Figure 3.9).
m e
dV e
dt
x
= 0 → E + V e × B| x = 0
La population ionique est entraînée par le champ de charge d’espace F u x induit par
le mouvement résultant de la force de Laplace électronique ; nous observons donc
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
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dont l’épaisseur est de l’ordre de la longueur de London. Dans le cadre de la magnétohydrodynamique cette propriété sera redémontrée et constituera le théorème du gel
d’Alfvén.
3.4 PERTURBATION MAGNÉTIQUE
3.4.1 Vitesse d’Alfvén
Considérons toujours un plasma homogène, occupant le demi-espace x > 0, formé
d’électrons et d’ions ; le demi espace x < 0 est vide et soumis à un champ magnétique homogène dirigé suivant l’axe des z : B = B 0 u z . Le modèle précédent est
maintenant complété pour prendre en compte la dynamique ionique. Pour cela nous
allons inclure la force magnétique induite sur la population électronique. Cette force
génère un déplacement électronique supplémentaire, ce déplacement résulte en une
séparation de charge et cette séparation électrons-ions crée un champ électrique supplémentaire F u x .
Ce champ électrique met en mouvement les ions, l’écoulement ionique ainsi obtenu
est décrit par la vitesse eulérienne V i = V i u x . Les ions accompagnent donc le
mouvement des électrons suivant l’axe des x afin de préserver la quasi-neutralité
(Figure 3.9). Cette dynamique étant lente à l’échelle de l’inertie des électrons (v
−1
p ) il
est inutile de calculer le champ électrostatique dû à la séparation des charges suivant
l’axe des x et il est légitime de faire l’hypothèse de quasi-neutralité : n e = n i . Nous
devons donc résoudre le système d’équations suivant :
Équation de Maxwell-Ampère : ∇ × B = −m 0 n e eV e
Loi de Newton pour les électrons : m e
dV e
dt
= −eE − eV e × B
Équation d’Euler pour les ions : m i
∂V i
∂t
+ m i V i .∇V i = eE (3.11)
où le champ électrique, E = E u y + F u x , est la superposition d’une composante inductive E, résultant d’une variation de flux et d’une composante capacitive
F, résultant d’une séparation de charges. L’hypothèse de quasi-neutralité se traduit
par un mouvement commun des ions et des électrons. Cette dernière population se
réajuste sur une échelle de temps inertielle rapide (v
−1
p ), ce réarrangement rapide
permettant de préserver la quasi-neutralité. Comme nous étudions un processus lent,
il est légitime de négliger le terme inertiel suivant x dans l’équation décrivant la
dynamique électronique (Figure 3.9).
m e
dV e
dt
x
= 0 → E + V e × B| x = 0
La population ionique est entraînée par le champ de charge d’espace F u x induit par
le mouvement résultant de la force de Laplace électronique ; nous observons donc
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit