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6 • Classes, systèmes et réseaux cristallins
c) Notation à 4 indices
Les études dans les réseaux R et P présentent une autre difficulté. Dans les autres réseaux, il est facile de déterminer les indices des faces équivalentes en tenant compte
des opérations de symétrie de la classe. (Dans les réseaux où l’axe principal est
orienté suivant Oz, un miroir (001) change en −, un axe binaire [100] change
k en −k et en −, dans les classes cubiques l’axe ternaire [111] conduit à une
permutation circulaire sur les 3 indices h, k et ...)
Dans la maille hexagonale, on est amené à utiliser, pour la notation des indices de
Miller des faces, un système à 4 indices.
Dans le plan (001) on prend un quatrième axe de coordonnées ( figure 6.7) :
d = −(a + b).
Une face est alors notée de manière surabondante (hkjl). Pour établir la relation entre
les 4 indices, on considère un plan dont la notation classique est (hk0).
Ce plan coupe les axes du plan (001) en A, B
et D ; d hkl qui est un invariant dans le changement de repère est égal à la projection du
vecteur OA ou du vecteur OD sur le vecteur
unitaire normal au plan.
d hkl · ·N
∗
hkl = 1
Et compte-tenu de a · A ∗ = 1, a · B ∗ = 0...
on a :
Figure 6.7
d hkl =
(hA ∗ + kB ∗ + lC ∗ )
N ∗
hkl
a
h
=
(hA ∗ + kB ∗ + lC ∗ )
N ∗
hkl
d
j
=
(hA ∗ + kB ∗ + lC ∗ )
N ∗
hkl
−(a + b)
j
j = −(h + k)
Remarque : Le calcul a été fait à titre d’exercice car cette relation est évidente
compte-tenu du caractère covariant des indices de Miller des faces.
Avec ce choix de quatre indices, les faces équivalentes se déduisent les unes des
autres par une permutation circulaire sur les trois premiers indices.
Notation. L’indice j, étant une combinaison linéaire de h et k, est omis dans la
notation de la face et remplacé par un point. Une face (1121) sera notée (11.1).
Exemple : Le tableau ci-dessous indique les trois types de notation possibles, en
hexagonal, des faces équivalentes à une face (100). Dans l’annexe A on trouve les
notations de toutes les formes particulières hexagonales en notation (hk · l).
6 • Classes, systèmes et réseaux cristallins
c) Notation à 4 indices
Les études dans les réseaux R et P présentent une autre difficulté. Dans les autres réseaux, il est facile de déterminer les indices des faces équivalentes en tenant compte
des opérations de symétrie de la classe. (Dans les réseaux où l’axe principal est
orienté suivant Oz, un miroir (001) change en −, un axe binaire [100] change
k en −k et en −, dans les classes cubiques l’axe ternaire [111] conduit à une
permutation circulaire sur les 3 indices h, k et ...)
Dans la maille hexagonale, on est amené à utiliser, pour la notation des indices de
Miller des faces, un système à 4 indices.
Dans le plan (001) on prend un quatrième axe de coordonnées ( figure 6.7) :
d = −(a + b).
Une face est alors notée de manière surabondante (hkjl). Pour établir la relation entre
les 4 indices, on considère un plan dont la notation classique est (hk0).
Ce plan coupe les axes du plan (001) en A, B
et D ; d hkl qui est un invariant dans le changement de repère est égal à la projection du
vecteur OA ou du vecteur OD sur le vecteur
unitaire normal au plan.
d hkl · ·N
∗
hkl = 1
Et compte-tenu de a · A ∗ = 1, a · B ∗ = 0...
on a :
Figure 6.7
d hkl =
(hA ∗ + kB ∗ + lC ∗ )
N ∗
hkl
a
h
=
(hA ∗ + kB ∗ + lC ∗ )
N ∗
hkl
d
j
=
(hA ∗ + kB ∗ + lC ∗ )
N ∗
hkl
−(a + b)
j
j = −(h + k)
Remarque : Le calcul a été fait à titre d’exercice car cette relation est évidente
compte-tenu du caractère covariant des indices de Miller des faces.
Avec ce choix de quatre indices, les faces équivalentes se déduisent les unes des
autres par une permutation circulaire sur les trois premiers indices.
Notation. L’indice j, étant une combinaison linéaire de h et k, est omis dans la
notation de la face et remplacé par un point. Une face (1121) sera notée (11.1).
Exemple : Le tableau ci-dessous indique les trois types de notation possibles, en
hexagonal, des faces équivalentes à une face (100). Dans l’annexe A on trouve les
notations de toutes les formes particulières hexagonales en notation (hk · l).