6.5 Relations métriques dans les réseaux
79
De ces matrices, on peut déduire les relations entre les paramètres des mailles :
a =
1
3
√
3 · A 2 + C 2
sin
a
2
=
3 · A
2
√
3 · A 2 + C 2
A = 2 · a. sin
a
2
C = a ·
√
3 + 6 · cos a
Pour exprimer les indices de Miller d’une famille de plans ou d’une rangée directe dans les deux repères, il suffit d’utiliser la covariance des indices des plans
réticulaires et la contravariance des indices des rangées.
b) Relations métriques
➤ Réseau trigonal
La métrique de la maille dépend de deux paramètres :
a = b = c, a = b = g = p/2
Les paramètres du réseau réciproque sont pour le réseau trigonal :
A ∗ =
1
a · sin a · sin a ∗
cos a ∗ =
cos
2 a − cosa
sin
2 a
L’expression des d hkl est donc :
d hkl =
a · (1 − 3 · cos
2 a + 2 · cos
3 a)
(h 2 + k 2 + l 2 ) · sin
2 a + 2 · (h · k + k · l + l · h) · (cos 2 a − cos a)
Le volume de la maille rhomboédrique est : V = a
3
· (1 − 3 · cos
2 a + 2 · cos
3 a)
1
2
➤ Réseau hexagonal
La métrique de la maille dépend également de deux paramètres :
a = b = c, a = b = p/2, g = 2p/3
A
∗
= B
∗
=
2
a
√
3
, C
∗
=
1
c
, a
∗
= b
∗
=
p
2
, g
∗
=
p
3
L’expression des d hkl est beaucoup plus simple que pour la maille rhomboédrique :
d hkl =
a
4
3
(h 2 + k 2 + hk) + l 2 (a/c) 2
Le volume de la maille hexagonale est : V =
√
3
2
· a
2
· c