6.4 Réseaux réciproques des réseaux de Bravais
75
Le réseau construit avec les vecteurs A 2
∗ , B 2
∗ et C 2
∗ possède la symétrie correcte
mais il manque des nœuds. Seuls existent les nœuds tels que h + k = 2n (avec n
entier). Il y a absence systématique des nœuds si h + k est impair.
6.4.2 Étude analytique
On a montré que les vecteurs de base du réseau réciproque étaient contravariants
avec les vecteurs de base du réseau direct. Si (A) et (A ∗ ) désignent les matrices de la
transformation pour les vecteurs de base, on a :
(A
∗ ) = (A
T )
−1
Pour un réseau C quelconque, on peut écrire :
⎛
⎜
⎝
a 2
b 2
c 2
⎞
⎟
⎠ =
⎛
⎜
⎝
1 1 0
1 1 0
0 0 1
⎞
⎟
⎠ ·
⎛
⎜
⎝
a 1
b 1
c 1
⎞
⎟
⎠
Après inversion de la transposée de la matrice (A ), on tire :
⎛
⎜
⎝
A ∗
2
B ∗
2
C ∗
2
⎞
⎟
⎠ =
⎛
⎜
⎝
1
/ 2
1
2 0
1
/ 2
1
/ 2 0
0 0 1
⎞
⎟
⎠ .
⎛
⎜
⎝
A ∗
1
B ∗
1
C ∗
1
⎞
⎟
⎠
On peut donc écrire :
A
∗
2 = ½(A
∗
1 − B
∗
1 )
B
∗
2 = ½(A
∗
1 + B
∗
1 )
C
∗
2 = C
∗
1
Les nœuds du réseau réciproque pour la maille simple sont tels que :
R
∗
1 = h · A
∗
1 + k · B
∗
1 + l · C
∗
1
Considérons le vecteur : R
∗
2 = h
· A
∗
2 + k
· B
∗
2 + l
· C
∗
2
On peut aussi l’écrire : R
∗
2 = ½(h
+ k
) · A
∗
1 + ½(k
− h
) · B
∗
1 + l
· C
∗
1
Dans le second repère, les points définis par R
∗
2 sont des nœuds si les coefficients
de A
∗
1 , B
∗
1 et C
∗
1 sont entiers, donc si h
+ k
est pair.
6.4.3 Réseaux réciproques des réseaux F et I
Dans une maille F, on peut définir une maille simple
( figure 6.4) caractérisée par les vecteurs de base :
a 1 = ½(b 2 + c 2 )
b 1 = ½(a 2 + c 2 )
c 1 = ½(a 2 + b 2 )
a 2 = −a 1 + b 1 + c 1 b 2 = a 1 − b 1 + c 1 c 2 = a 1 + b 1 − c 1
La forme matricielle de ces relations est :
⎛
⎜
⎝
a 2
b 2
c 2
⎞
⎟
⎠ =
⎛
⎜
⎝
1 1 1
1 1 1
1 1 1
⎞
⎟
⎠ ·
⎛
⎜
⎝
a 1
b 1
c 1
⎞
⎟
⎠
Figure 6.4