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5 • Dénombrement des groupes ponctuels cristallographiques
5.3.4 Bilan final du dénombrement
Lors du dénombrement des groupes ponctuels cristallographiques, on a trouvé :
– 11 groupes propres,
– 11 groupes impropres contenant l’inversion,
– 10 groupes impropres ne contenant pas l’inversion,
soit au total 32 groupes ponctuels.
Pour arriver à maîtriser les notions relatives aux groupes ponctuels, il est indispensable de procéder à leur construction en suivant la démarche indiquée. La construction des projections stéréographiques des groupes propres est élémentaire. Pour les
groupes impropres, dans lesquels il faut effectuer des produits d’éléments de symétrie, on utilisera les lois de composition évoquées dans le chapitre 4.
L’étude des groupes cubiques est la plus délicate : la confection de modèles en
carton, obtenus par pliage et collage, peut apporter une aide matérielle efficace. On
trouvera, après l’annexe C, des indications pour construire quelques modèles.
Parmi ceux-ci figure un dodécaèdre pentagonal régulier. Un lecteur attentif trouvera comme éléments de symétrie 1 centre d’inversion, 15 miroirs, 15 axes 2, 10 axes
3 et 6 axes 5. Les indices de ses faces sont non rationnels : ce modèle ne peut pas
représenter un cristal. (Le dodécaèdre pentagonal non régulier est une forme possible
du système cubique (classe m3) mais les angles entre les arêtes d’une face diffèrent
de 72 ◦ ).
En dehors de ces 32 groupes qui sont compatibles avec les opérations de symétrie
d’orientation dans les cristaux, il existe de fait une infinité des groupes ponctuels non
cristallographiques. La méthode de leur dénombrement est indiquée succinctement
dans l’annexe A. Leur étude présente beaucoup d’intérêt en physique moléculaire ;
la disparition des contraintes liées au réseau autorise aussi pour les molécules l’existence d’axes de rotation d’ordres 5, 7, 8...
Il importe de ne pas confondre la classe de symétrie d’un cristal, liée à la nature de
son réseau, et la symétrie éventuelle des objets qui constituent le motif. Ainsi dans
le benzène qui cristallise dans la classe mmm (groupe Pbca) le motif est constitué
de molécules de benzène dont la symétrie est 6/mmm. De même, les cristaux de
fulrène sont cubiques compacts (classe m3m) alors que la molécule (C 60 ) possède la
symétrie 5 3
2
m
(groupe icosaédrique qui comporte 6 A 5 , 10 A 3 , 15 A 2 , 15 miroirs
et un centre).
5 • Dénombrement des groupes ponctuels cristallographiques
5.3.4 Bilan final du dénombrement
Lors du dénombrement des groupes ponctuels cristallographiques, on a trouvé :
– 11 groupes propres,
– 11 groupes impropres contenant l’inversion,
– 10 groupes impropres ne contenant pas l’inversion,
soit au total 32 groupes ponctuels.
Pour arriver à maîtriser les notions relatives aux groupes ponctuels, il est indispensable de procéder à leur construction en suivant la démarche indiquée. La construction des projections stéréographiques des groupes propres est élémentaire. Pour les
groupes impropres, dans lesquels il faut effectuer des produits d’éléments de symétrie, on utilisera les lois de composition évoquées dans le chapitre 4.
L’étude des groupes cubiques est la plus délicate : la confection de modèles en
carton, obtenus par pliage et collage, peut apporter une aide matérielle efficace. On
trouvera, après l’annexe C, des indications pour construire quelques modèles.
Parmi ceux-ci figure un dodécaèdre pentagonal régulier. Un lecteur attentif trouvera comme éléments de symétrie 1 centre d’inversion, 15 miroirs, 15 axes 2, 10 axes
3 et 6 axes 5. Les indices de ses faces sont non rationnels : ce modèle ne peut pas
représenter un cristal. (Le dodécaèdre pentagonal non régulier est une forme possible
du système cubique (classe m3) mais les angles entre les arêtes d’une face diffèrent
de 72 ◦ ).
En dehors de ces 32 groupes qui sont compatibles avec les opérations de symétrie
d’orientation dans les cristaux, il existe de fait une infinité des groupes ponctuels non
cristallographiques. La méthode de leur dénombrement est indiquée succinctement
dans l’annexe A. Leur étude présente beaucoup d’intérêt en physique moléculaire ;
la disparition des contraintes liées au réseau autorise aussi pour les molécules l’existence d’axes de rotation d’ordres 5, 7, 8...
Il importe de ne pas confondre la classe de symétrie d’un cristal, liée à la nature de
son réseau, et la symétrie éventuelle des objets qui constituent le motif. Ainsi dans
le benzène qui cristallise dans la classe mmm (groupe Pbca) le motif est constitué
de molécules de benzène dont la symétrie est 6/mmm. De même, les cristaux de
fulrène sont cubiques compacts (classe m3m) alors que la molécule (C 60 ) possède la
symétrie 5 3
2
m
(groupe icosaédrique qui comporte 6 A 5 , 10 A 3 , 15 A 2 , 15 miroirs
et un centre).