5.3 Dénombrement des groupes ponctuels
61
b) Groupes impropres ne contenant pas l’inversion
On a montré au paragraphe 5.2 que : G i = G p + R · G p (I ∈ G i ) et que pour construire
les groupes impropres G i ne contenant pas l’inversion on peut partir des groupes
propres G
admettant un sous-groupe propre invariant G p d’indice 2, en remplaçant
l’élément R, facteur du second coensemble de la décomposition, par son produit par
l’inversion.
Ainsi, on peut décomposer le groupe G = C 6 en G = C 3 + C 6 · C 3 et le groupe
impropre correspondant est :
G i = C 3 + C 6 · C 3
Les groupes C 1 , C 3 et T n’ont pas de sous-groupe d’indice 2, par contre D 4 et
D 6 admettent deux décompositions en sous-groupes différentes. On obtient ainsi
(11 − 3 + 2) = 10 nouveaux groupes impropres qui ne contiennent pas l’inversion.
Le groupe C 2 donne le groupe S 1 (miroir), C 4 donne S 4 , C 6 conduit à C 3h (axe
C 3 plus un miroir normal s h ). À partir des groupes D 2 , D 3 , D 4 , et D 6 , on obtient les
groupes C 2v , C 3v , C 4v et C 6v (comprenant n miroirs s v contenant l’axe principal). Les
secondes décompositions de D 4 et D 6 donnent respectivement les groupes D 2d (axe
principal S 4 , 2 binaires et 2s v à 45 ◦ des binaires) et D 3h (axe principal S 3 , 3 binaires
et 3s v contenant les binaires). Enfin, le groupe O donne le groupe T d (3 axes S 4 , 4
axes 3 et 6 miroirs diagonaux à 45 ◦ des S 4 ).
Tableau 5.4 Groupes impropres ne contenant pas l’inversion
Groupes G
p
Groupes impropres G i
Schönflies
Gp + R · Gp
Gp + R · Gp
Schönflies Hermann-Mauguin
C 2
C 2 = C 1 + C 2 · C 1
C 1 + C 2 · C 1
S 1 , Cs
2 = m
C 4
C 4 = C 2 + C 4 · C 2
C 2 + C 4 · C 2
S 4
4
C 6
C 6 = C 3 + C 6 · C 3
C 3 + C 6 · C 3
S 3 , C 3h
6
D 2
D 2 = C 2 + C 2 · C 2
C 2 + C 2 · C 2
C 2v
mm2
D 3
D 3 = C 3 + C 2 · C 3
C 3 + C 2 · C 3
C 3v
3m
D 4
C 4 = C 4 + C 2 · C 4
C 4 + C 2 · C 4
C 4v
4mm
D 4
D 4 = D 2 + C 4 · D 2 D 2 + C 4 · D 2
D 2d
42m
D 6
D 6 = C 6 + C 2 · C 6
C 6 + C 2 · C 6
C 6v
6mm
D 6
D 6 = D 3 + C 6 · D 3 D 3 + C 6 · D 3
D 3h
62m
O
P 2 = A 4 + C 4 · A 4 A 4 + C 4 · A 4
T d
43m
61
b) Groupes impropres ne contenant pas l’inversion
On a montré au paragraphe 5.2 que : G i = G p + R · G p (I ∈ G i ) et que pour construire
les groupes impropres G i ne contenant pas l’inversion on peut partir des groupes
propres G
admettant un sous-groupe propre invariant G p d’indice 2, en remplaçant
l’élément R, facteur du second coensemble de la décomposition, par son produit par
l’inversion.
Ainsi, on peut décomposer le groupe G = C 6 en G = C 3 + C 6 · C 3 et le groupe
impropre correspondant est :
G i = C 3 + C 6 · C 3
Les groupes C 1 , C 3 et T n’ont pas de sous-groupe d’indice 2, par contre D 4 et
D 6 admettent deux décompositions en sous-groupes différentes. On obtient ainsi
(11 − 3 + 2) = 10 nouveaux groupes impropres qui ne contiennent pas l’inversion.
Le groupe C 2 donne le groupe S 1 (miroir), C 4 donne S 4 , C 6 conduit à C 3h (axe
C 3 plus un miroir normal s h ). À partir des groupes D 2 , D 3 , D 4 , et D 6 , on obtient les
groupes C 2v , C 3v , C 4v et C 6v (comprenant n miroirs s v contenant l’axe principal). Les
secondes décompositions de D 4 et D 6 donnent respectivement les groupes D 2d (axe
principal S 4 , 2 binaires et 2s v à 45 ◦ des binaires) et D 3h (axe principal S 3 , 3 binaires
et 3s v contenant les binaires). Enfin, le groupe O donne le groupe T d (3 axes S 4 , 4
axes 3 et 6 miroirs diagonaux à 45 ◦ des S 4 ).
Tableau 5.4 Groupes impropres ne contenant pas l’inversion
Groupes G
p
Groupes impropres G i
Schönflies
Gp + R · Gp
Gp + R · Gp
Schönflies Hermann-Mauguin
C 2
C 2 = C 1 + C 2 · C 1
C 1 + C 2 · C 1
S 1 , Cs
2 = m
C 4
C 4 = C 2 + C 4 · C 2
C 2 + C 4 · C 2
S 4
4
C 6
C 6 = C 3 + C 6 · C 3
C 3 + C 6 · C 3
S 3 , C 3h
6
D 2
D 2 = C 2 + C 2 · C 2
C 2 + C 2 · C 2
C 2v
mm2
D 3
D 3 = C 3 + C 2 · C 3
C 3 + C 2 · C 3
C 3v
3m
D 4
C 4 = C 4 + C 2 · C 4
C 4 + C 2 · C 4
C 4v
4mm
D 4
D 4 = D 2 + C 4 · D 2 D 2 + C 4 · D 2
D 2d
42m
D 6
D 6 = C 6 + C 2 · C 6
C 6 + C 2 · C 6
C 6v
6mm
D 6
D 6 = D 3 + C 6 · D 3 D 3 + C 6 · D 3
D 3h
62m
O
P 2 = A 4 + C 4 · A 4 A 4 + C 4 · A 4
T d
43m