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5 • Dénombrement des groupes ponctuels cristallographiques
d) Bilan de la recherche des groupes propres
On a trouvé au cours du dénombrement des groupes cristallographiques propres 5
groupes cycliques, 4 groupes dièdraux, 2 groupes particuliers, soit un total de :
11 groupes cristallographiques propres.
5.3.3 Recherche des groupes impropres de G p
a) Groupes impropres contenant l’inversion
D’après le théorème sur les groupes impropres, on a :
G i = G P + I · G P = {E, I} ⊗ G P soit : G i = G p ⊗ C 2
Avec les 11 groupes propres, on peut construire 11 groupes impropres contenant
l’inversion.
Le produit de l’inversion par un axe C 2n fait apparaître un miroir normal à l’axe
de symétrie. Pour les groupes issus des classes C 2 , C 4 , C 6 , D 2 , D 4 et D 6 , on obtient
un miroir s h normal à l’axe principal. Pour les classes T et O, on obtient 3 miroirs
de type s h normaux aux binaires de T ou aux axes 4 de O.
Pour les groupes issus des classes D 2 , D 3 , D 4 , D 6 et O, on obtient en outre des
miroirs s v normaux aux axes binaires.
Tableau 5.3 Groupes impropres contenant l’inversion
Groupes propres
Groupes impropres
Schönflies Hermann-Mauguin Groupe abstrait Groupe abstrait Hermann-Mauguin Schönflies
C 1
1
C 1
C 1 ⊗ C 2
1
C i
C 2
2
C 2
C 2 ⊗ C 2
2/m
C 2h
C 3
3
C 3
C 3 ⊗ C 2
3
S 6 = C 3i
C 4
4
C 4
C 4 ⊗ C 2
4/m
C 4h
C 6
6
C 6
C 6 ⊗ C 2
6/m
C 6h
D 2
222
D 2
D 2 ⊗ C 2
mmm
D 2h
D 3
32
D 3
D 3 ⊗ C 2
3m
D 3d
D 4
422
D 4
D 4 ⊗ C 2
4/mmm
D 4h
D 6
622
D 6
D 6 ⊗ C 2
6/mmm
D 6h
T
23
A 4
A 4 ⊗ C 2
m3
T h
O
432
P 4
P 4 ⊗ C 2
m3m
O h