5.3 Dénombrement des groupes ponctuels
59
➤ n 3 = 2
n 1 = 2,
n 2 = 3,
n 3 = 2
Ce cas qui correspond à deux sous-groupes d’indice 2 a déjà été rencontré, il est
donc inutile de reprendre son étude.
➤ n 3 = 3
n 1 = 2
n 2 = 3
n 3 = 3
n= 12.
Les indices des sous-groupes sont : j 1 = 6 j 2 = 4 j 3 = 4
Dans ce groupe on trouve donc 6 pôles d’axes d’ordre 2, 4 pôles d’axes d’ordre 3
et 4 pôles d’axes d’ordre 3.
Le groupe, d’ordre 12, contient 3 axes binaires et 4 axes ternaires.
Les 4 pôles d’axe d’ordre 3 sont situés sur la sphère
de manière symétrique, car une rotation de 2p/3 autour
de l’un des axes (le n
◦ 1 par exemple) doit ramener les
trois autres axes en coïncidence :
(4) → (2), (2) → (3), (3) → (4)
Les pôles des axes binaires doivent également faire correspondre 2 à 2 les axes ternaires. Les 4 axes ternaires
sont orientés selon les diagonales d’un cube ou suivant
les normales aux faces d’un tétraèdre régulier.
1
2
3
4
Les binaires sont normaux aux faces du cube. L’angle entre deux axes ternaires est
égal à 109 ◦ 28 . C’est le groupe du tétraèdre (notation : T ou 23) auquel on associe
en théorie des groupes un groupe abstrait noté A 4 .
➤ n 3 = 4
n 1 = 2
n 2 = 3
n 3 = 4
n= 24.
Les indices des sous-groupes sont : j 1 = 12 j 2 = 8 j 3 = 6
Dans ce groupe on trouve 12 pôles d’axes d’ordre 2, 4 pôles d’axes d’ordre 3 et 6
pôles d’axes d’ordre 4.
Le groupe, d’ordre 24, contient au total 3 axes 4, 4 axes 3 et 6 axes 2. La symétrie
du problème impose que les axes 4 sont des rangées de type [100] d’un cube, les axes
3 des rangées de type [111] et les axes 2 des rangées de type [110]. C’est le groupe
de l’octaèdre (notation : O ou 432) auquel est associé le groupe abstrait noté P 4 .
➤ n 3 = 5
n 1 = 2
n 2 = 3
n 3 = 5
n= 60
Ce groupe (groupe de l’icosaèdre) présente des axes d’ordre 5. Il doit donc être exclu du dénombrement car il ne peut pas correspondre à un groupe cristallographique.
59
➤ n 3 = 2
n 1 = 2,
n 2 = 3,
n 3 = 2
Ce cas qui correspond à deux sous-groupes d’indice 2 a déjà été rencontré, il est
donc inutile de reprendre son étude.
➤ n 3 = 3
n 1 = 2
n 2 = 3
n 3 = 3
n= 12.
Les indices des sous-groupes sont : j 1 = 6 j 2 = 4 j 3 = 4
Dans ce groupe on trouve donc 6 pôles d’axes d’ordre 2, 4 pôles d’axes d’ordre 3
et 4 pôles d’axes d’ordre 3.
Le groupe, d’ordre 12, contient 3 axes binaires et 4 axes ternaires.
Les 4 pôles d’axe d’ordre 3 sont situés sur la sphère
de manière symétrique, car une rotation de 2p/3 autour
de l’un des axes (le n
◦ 1 par exemple) doit ramener les
trois autres axes en coïncidence :
(4) → (2), (2) → (3), (3) → (4)
Les pôles des axes binaires doivent également faire correspondre 2 à 2 les axes ternaires. Les 4 axes ternaires
sont orientés selon les diagonales d’un cube ou suivant
les normales aux faces d’un tétraèdre régulier.
1
2
3
4
Les binaires sont normaux aux faces du cube. L’angle entre deux axes ternaires est
égal à 109 ◦ 28 . C’est le groupe du tétraèdre (notation : T ou 23) auquel on associe
en théorie des groupes un groupe abstrait noté A 4 .
➤ n 3 = 4
n 1 = 2
n 2 = 3
n 3 = 4
n= 24.
Les indices des sous-groupes sont : j 1 = 12 j 2 = 8 j 3 = 6
Dans ce groupe on trouve 12 pôles d’axes d’ordre 2, 4 pôles d’axes d’ordre 3 et 6
pôles d’axes d’ordre 4.
Le groupe, d’ordre 24, contient au total 3 axes 4, 4 axes 3 et 6 axes 2. La symétrie
du problème impose que les axes 4 sont des rangées de type [100] d’un cube, les axes
3 des rangées de type [111] et les axes 2 des rangées de type [110]. C’est le groupe
de l’octaèdre (notation : O ou 432) auquel est associé le groupe abstrait noté P 4 .
➤ n 3 = 5
n 1 = 2
n 2 = 3
n 3 = 5
n= 60
Ce groupe (groupe de l’icosaèdre) présente des axes d’ordre 5. Il doit donc être exclu du dénombrement car il ne peut pas correspondre à un groupe cristallographique.