58
5 • Dénombrement des groupes ponctuels cristallographiques
➤ h = 3, n 1 = 2, n 2 = 2
L’équation (3) donne n 3 = n/2. Les indices des sous-groupes seront :
j 1 = n/2
j 2 = n/2
j 3 = 2
La figure des pôles comporte donc :
– 2 pôles diamétralement opposés qui sont les pôles d’un axe d’ordre n 3 = n/2,
– 2 systèmes de pôles conjugués comportant chacun n/2 pôles d’axes binaires.
Ces binaires sont équivalents si j est impair (D 3 ) mais forment deux classes différentes si j est pair (D 2 , D 4 , D 6 ).
Ces groupes sont donc des groupes diédraux D n . On obtient ainsi 4 groupes
cristallographiques propres supplémentaires :
Tableau 5.2 Groupes diédraux
Groupe cyclique Schönflies Hermann-Maugin
D 2
D 2
222
D 3
D 3
32
D 4
D 4
422
D 6
D 6
622
Exemples :
Groupe D 4
(n = 8, n 3 = 4, j 1 = 4, j 2 = 4)
Groupe D 3
(n = 6, n 3 = 3, j 1 = 3, j 2 = 3)
➤ h = 3, n 1 = 2, n 2 = 3
L’équation (3) donne :
1
n 3
=
1
6
+
2
n
⇒ n 3 =
6n
12 + n
⇒ n 3 < 6
n 3 peut prendre les valeurs 2, 3, 4 ou 5.
5 • Dénombrement des groupes ponctuels cristallographiques
➤ h = 3, n 1 = 2, n 2 = 2
L’équation (3) donne n 3 = n/2. Les indices des sous-groupes seront :
j 1 = n/2
j 2 = n/2
j 3 = 2
La figure des pôles comporte donc :
– 2 pôles diamétralement opposés qui sont les pôles d’un axe d’ordre n 3 = n/2,
– 2 systèmes de pôles conjugués comportant chacun n/2 pôles d’axes binaires.
Ces binaires sont équivalents si j est impair (D 3 ) mais forment deux classes différentes si j est pair (D 2 , D 4 , D 6 ).
Ces groupes sont donc des groupes diédraux D n . On obtient ainsi 4 groupes
cristallographiques propres supplémentaires :
Tableau 5.2 Groupes diédraux
Groupe cyclique Schönflies Hermann-Maugin
D 2
D 2
222
D 3
D 3
32
D 4
D 4
422
D 6
D 6
622
Exemples :
Groupe D 4
(n = 8, n 3 = 4, j 1 = 4, j 2 = 4)
Groupe D 3
(n = 6, n 3 = 3, j 1 = 3, j 2 = 3)
➤ h = 3, n 1 = 2, n 2 = 3
L’équation (3) donne :
1
n 3
=
1
6
+
2
n
⇒ n 3 =
6n
12 + n
⇒ n 3 < 6
n 3 peut prendre les valeurs 2, 3, 4 ou 5.