5.3 Dénombrement des groupes ponctuels
57
➤ Cas h = 2
L’équation (3) donne :
1
n 1
+
1
n 2
=
2
n
qui admet comme solution unique :
n 1 = n 2 = n
Il y a deux systèmes de pôles conjugués formés chacun d’un seul pôle ce qui
correspond à un axe d’ordre n (l’axe traverse la sphère en deux points). L’ordre
de ce groupe cyclique est a priori quelconque, mais pour le dénombrement des
groupes cristallographiques, on ne doit retenir que les 5 groupes cycliques suivants :
C 1 , C 2 , C 3 , C 4 , C 6 .
On peut dresser le tableau de ces 5 groupes en utilisant les deux notations cristallographiques en usage :
Tableau 5.1 Groupes propres
Groupe cyclique Schönflies Hermann-Maugin
C 1
C 1
1
C 2
C 2
2
C 3
C 3
3
C 4 = C 2 ⊗ C 2
C 4
4
C 6 ≡ C 3 ⊗ C 2
C 6
6
Il est conseillé au lecteur de construire la projection stéréographique des éléments
de symétrie des groupes étudiés et de contrôler son travail en consultant les planches
du chapitre suivant ou de l’atlas.
➤ Cas h = 3
L’équation (3) s’écrit :
1
n 1
+
1
n 2
+
1
n 3
= 1 +
2
n
– Soit n 1 le plus petit des n i :
1
n 1
+
1
n 2
+
1
n 3
<
3
n 1
⇒ 1 +
2
n
<
3
n 1
Le membre de gauche est strictement supérieur à 1 et le membre de droite n’est
supérieur à 1 que si n 1 est inférieur à 3, donc : n 1 = 2.
– Soit n 2 le plus petit des n 2 , n 3 :
1
n 2
+
1
n 3
2
n 2
⇒
1
2
+
2
n
2
n 2
mais n 2 est strictement inférieur à 4 : n 2 = 2 ou 3
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➤ Cas h = 2
L’équation (3) donne :
1
n 1
+
1
n 2
=
2
n
qui admet comme solution unique :
n 1 = n 2 = n
Il y a deux systèmes de pôles conjugués formés chacun d’un seul pôle ce qui
correspond à un axe d’ordre n (l’axe traverse la sphère en deux points). L’ordre
de ce groupe cyclique est a priori quelconque, mais pour le dénombrement des
groupes cristallographiques, on ne doit retenir que les 5 groupes cycliques suivants :
C 1 , C 2 , C 3 , C 4 , C 6 .
On peut dresser le tableau de ces 5 groupes en utilisant les deux notations cristallographiques en usage :
Tableau 5.1 Groupes propres
Groupe cyclique Schönflies Hermann-Maugin
C 1
C 1
1
C 2
C 2
2
C 3
C 3
3
C 4 = C 2 ⊗ C 2
C 4
4
C 6 ≡ C 3 ⊗ C 2
C 6
6
Il est conseillé au lecteur de construire la projection stéréographique des éléments
de symétrie des groupes étudiés et de contrôler son travail en consultant les planches
du chapitre suivant ou de l’atlas.
➤ Cas h = 3
L’équation (3) s’écrit :
1
n 1
+
1
n 2
+
1
n 3
= 1 +
2
n
– Soit n 1 le plus petit des n i :
1
n 1
+
1
n 2
+
1
n 3
<
3
n 1
⇒ 1 +
2
n
<
3
n 1
Le membre de gauche est strictement supérieur à 1 et le membre de droite n’est
supérieur à 1 que si n 1 est inférieur à 3, donc : n 1 = 2.
– Soit n 2 le plus petit des n 2 , n 3 :
1
n 2
+
1
n 3
2
n 2
⇒
1
2
+
2
n
2
n 2
mais n 2 est strictement inférieur à 4 : n 2 = 2 ou 3