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5 • Dénombrement des groupes ponctuels cristallographiques
b) Partition en systèmes conjugués
Soit
1 C n2 un axe d’ordre n 2 dont les opérateurs appartiennent à G p et dont le pôle
|
2 P 1 > n’appartient pas au système conjugué de |
1 P i >. Cet axe définit un sousgroupe cyclique de G p d’ordre n 2 ,
2 C 1 et d’indice j 2 = n/n 2 .
Il est possible à partir de
2 C 1 de définir un nouveau système de pôles conjugués
formé par l’ensemble des j 2 pôles |
2 P j >. Les deux systèmes n’ont aucun pôle commun. Si en effet
1 R i · |
1 P 1 > =
2 R j · |
2 P 1 >, on aurait alors :
(
2 R j )
−1
· (
1 R i ) · |
1 P 1 > = |
2 P 1 >
|
2 P 1 > serait l’un des pôles |
1 P j > ce qui est contraire à l’hypothèse.
En suivant cette méthode, il est possible de générer une partition de tous les pôles
d’axes en h systèmes conjugués.
c) Dénombrement des rotations propres de G p
Pour le système de pôles |
1 P i >, il existe (n 1 − 1) opérateurs différents de l’élément
neutre par pôle. Il y a j 1 = n/n 1 pôles, soit j 1 /2 = n/2n 1 axes de rotation et donc
n · (n 1 − 1)/2n 1 opérateurs d’ordre n 1 différents de l’identité. Le groupe C 1 étant
trivial, la sommation sur les h jeux de pôles donne :
h
r=1
1
2
n
n r
(n r − 1) = n − 1
´½µ
n n r 2
´¾µ
La division des deux membres de (1) par n/2 donne :
h
r=1
1
n r
= h − 2 +
2
n
´¿µ
Les conditions imposées par la relation (2) sont très limitatives :
• n r 2 ⇒
1
n r
1
2
⇒
h
r=1
1
n r
h
2
Donc : h − 2 +
2
n
h
2
h étant entier on a : h 3
• n n r ⇒
1
n r
1
n
⇒
h
r=1
1
n r
h
n
Donc : h − 2 +
2
n
h
n
h étant entier on a : h 2
Les seules valeurs possibles du nombre de systèmes conjugués h sont 2 et 3.