5.3 Dénombrement des groupes ponctuels
55
Notations. On considère la sphère centrée en O, point de concours des axes de
rotation du groupe étudié. Une demi-droite, issue de O, traverse la sphère en P. On
note |P > le vecteur OP. Par analogie avec la projection stéréographique on appelle
P le pôle de la demi-droite.
5.3.2 Recherche des groupes propres d’ordre n
a) Pôles conjugués
Soit
1 C n1 un axe d’ordre n 1 dont les opérateurs appartiennent à G p et |
1 P 1 > son pôle.
Le groupe des rotations autour de cet axe est :
1 C n1 =
E,
1 R 1 ,
1 R
2
1 , . . . ,
1 R
n1−1
1
C’est un sous-groupe cyclique d’indice j 1 = n/n 1 .
Si on applique toutes les opérations de symétrie au point M, on obtient (n 1 − 1)
points différents de M, donc au pôle |
1 P 1 > correspondent (n 1 − 1) opérations différentes de l’identité. (à un axe 4 sont associés C
1
4 , C
2
4 , C
3
4 , C
4
4 = E.)
On décompose G p en coensembles associés au groupe
1 C n1 :
G p =
1 C n1 +
1 R 2 ·
1 C n1 + · · · +
1 R
1
j ·
1 C n1
1 R i ∈ G p ,
1 R i ∈
1 C n1
L’opérateur
1 R i est une rotation autour d’un axe de pôle différent de |
1 P 1 > qui amène
ce pôle dans une position |
1 P i > équivalente à |
1 P 1 >. Le pôle |
1 P i > est donc aussi
le pôle d’un axe d’ordre n 1 .
Avec les (j 1 − 1) opérateurs
1 R i , on peut construire (j 1 − 1) pôles équivalents à
|
1 P 1 > distincts.
Supposons
1 R i · |
1 P 1 >=
1 R j · |
1 P 1 >
Alors
|
1 P 1 > = E · |
1 P 1 >= (
1 R i ) −1 ·
1 R i · |
1 P 1 >= (
1 R i ) −1 ·
1 R j · |
1 P 1 >
Donc
(
1 R i ) −1 ·
1 R j ∈
1 C n1 (Car ce produit laisse |
1 P 1 > invariant)
Le groupe étant cyclique, on a :
(
1 R i ) −1 ·
1 R j = (
1 R 1 )
p Ø
1 R i · (
1 R i ) −1 ·
1 R j =
1 R i · (
1 R 1 )
p
1 R j =
1 R i · (
1 R 1 )
p
∈
1 R i ·
1 C n1
Ceci est contraire à l’hypothèse, donc :
1 R i · |
1 P 1 > =
1 R j · |
1 P 1 >
L’ensemble des j pôles |
1 P 1 > forme un système de pôles « conjugués » définissant
des axes de même ordre.
Par exemple, dans le groupe 432, on verra qu’il existe 6 pôles qui correspondent
aux 3 axes tétragonaux.
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Notations. On considère la sphère centrée en O, point de concours des axes de
rotation du groupe étudié. Une demi-droite, issue de O, traverse la sphère en P. On
note |P > le vecteur OP. Par analogie avec la projection stéréographique on appelle
P le pôle de la demi-droite.
5.3.2 Recherche des groupes propres d’ordre n
a) Pôles conjugués
Soit
1 C n1 un axe d’ordre n 1 dont les opérateurs appartiennent à G p et |
1 P 1 > son pôle.
Le groupe des rotations autour de cet axe est :
1 C n1 =
E,
1 R 1 ,
1 R
2
1 , . . . ,
1 R
n1−1
1
C’est un sous-groupe cyclique d’indice j 1 = n/n 1 .
Si on applique toutes les opérations de symétrie au point M, on obtient (n 1 − 1)
points différents de M, donc au pôle |
1 P 1 > correspondent (n 1 − 1) opérations différentes de l’identité. (à un axe 4 sont associés C
1
4 , C
2
4 , C
3
4 , C
4
4 = E.)
On décompose G p en coensembles associés au groupe
1 C n1 :
G p =
1 C n1 +
1 R 2 ·
1 C n1 + · · · +
1 R
1
j ·
1 C n1
1 R i ∈ G p ,
1 R i ∈
1 C n1
L’opérateur
1 R i est une rotation autour d’un axe de pôle différent de |
1 P 1 > qui amène
ce pôle dans une position |
1 P i > équivalente à |
1 P 1 >. Le pôle |
1 P i > est donc aussi
le pôle d’un axe d’ordre n 1 .
Avec les (j 1 − 1) opérateurs
1 R i , on peut construire (j 1 − 1) pôles équivalents à
|
1 P 1 > distincts.
Supposons
1 R i · |
1 P 1 >=
1 R j · |
1 P 1 >
Alors
|
1 P 1 > = E · |
1 P 1 >= (
1 R i ) −1 ·
1 R i · |
1 P 1 >= (
1 R i ) −1 ·
1 R j · |
1 P 1 >
Donc
(
1 R i ) −1 ·
1 R j ∈
1 C n1 (Car ce produit laisse |
1 P 1 > invariant)
Le groupe étant cyclique, on a :
(
1 R i ) −1 ·
1 R j = (
1 R 1 )
p Ø
1 R i · (
1 R i ) −1 ·
1 R j =
1 R i · (
1 R 1 )
p
1 R j =
1 R i · (
1 R 1 )
p
∈
1 R i ·
1 C n1
Ceci est contraire à l’hypothèse, donc :
1 R i · |
1 P 1 > =
1 R j · |
1 P 1 >
L’ensemble des j pôles |
1 P 1 > forme un système de pôles « conjugués » définissant
des axes de même ordre.
Par exemple, dans le groupe 432, on verra qu’il existe 6 pôles qui correspondent
aux 3 axes tétragonaux.