54
5 • Dénombrement des groupes ponctuels cristallographiques
5.2.2 Types des groupes impropres
a) Groupes impropres contenant l’inversion
La décomposition en coensembles de G i peut s’écrire : G i = G p + I · G p .
Le groupe {E, I}, comme G p , est un sous-groupe de G i . G i apparaît comme le produit
direct G i = {E, I} ⊗ G p . Cette relation donne une méthode évidente de construction
des groupes impropres contenant l’inversion.
b) Groupes impropres ne contenant pas l’inversion
Soit R( = I) l’élément choisi pour le second coensemble de la décomposition de G i ,
donc G i = G p + R · G p (I ∈ G i ). Or R = I · R (R = I · R), R étant une opération propre
n’est pas contenue dans G p ; elle n’est pas contenue non plus dans G i car son inverse
R −1 y serait également ainsi que R · R −1 = I · R · R −1 = I, ce qui est contraire à
l’hypothèse de départ.
Considérons l’ensemble : G = G p + R · G p et montrons qu’il constitue un groupe de
même nature (on dit isomorphe ) que G i .
Soient P, Q... les éléments de G p . Par hypothèse G i est un groupe donc :
(R · P) · Q, Q · (R · P) ∈ G i et ∈ R · G p
(R · P)(R · Q) ∈ G i et ∈ G p
De plus ∀P, Q ∈ G p on a :
R·P·Q = I·(R·P·Q) et Q·R·P = I·(Q·R·P) ∈ I·R·G p ⇒ R·P·Q, Q·R·P ∈ R·G p
ÓÒÒ
(R · P) · (R · Q) = (I · R · P) · (I · R · Q) = (R · P) · (R · Q) ∈ G p
Ø ÒÒÒ
(R · P) −1 ∈ R · G p ⇒ (R · P) −1 ∈ R · G p
G forme donc un groupe ne contenant que des opérations propres.
Pour construire les groupes impropres G i ne contenant pas l’inversion, on pourra
partir des groupes propres G admettant un sous-groupe propre invariant G p d’indice
2, en remplaçant l’élément R, facteur du second coensemble de la décomposition,
par son produit par l’inversion.
5.3 DÉNOMBREMENT DES GROUPES PONCTUELS
5.3.1 Méthode de dénombrement
Pour effectuer le dénombrement des groupes ponctuels cristallographiques, il suffit
de déterminer tous les groupes propres et d’utiliser les remarques précédentes pour
en déduire les groupes impropres.
Les groupes propres correspondent à des axes de rotations. Les axes de rotation
compatibles avec la symétrie d’un réseau étant les axes 1, 2, 3, 4 et 6, les groupes
ponctuels cristallographiques contiennent a priori les groupes cycliques C 1 , C 2 , C 3 ,
C 4 et C 6 . Le but du dénombrement est de trouver quelles sont les associations d’axes
de rotation C n , C m . . . compatibles avec une structure de groupe.
5 • Dénombrement des groupes ponctuels cristallographiques
5.2.2 Types des groupes impropres
a) Groupes impropres contenant l’inversion
La décomposition en coensembles de G i peut s’écrire : G i = G p + I · G p .
Le groupe {E, I}, comme G p , est un sous-groupe de G i . G i apparaît comme le produit
direct G i = {E, I} ⊗ G p . Cette relation donne une méthode évidente de construction
des groupes impropres contenant l’inversion.
b) Groupes impropres ne contenant pas l’inversion
Soit R( = I) l’élément choisi pour le second coensemble de la décomposition de G i ,
donc G i = G p + R · G p (I ∈ G i ). Or R = I · R (R = I · R), R étant une opération propre
n’est pas contenue dans G p ; elle n’est pas contenue non plus dans G i car son inverse
R −1 y serait également ainsi que R · R −1 = I · R · R −1 = I, ce qui est contraire à
l’hypothèse de départ.
Considérons l’ensemble : G = G p + R · G p et montrons qu’il constitue un groupe de
même nature (on dit isomorphe ) que G i .
Soient P, Q... les éléments de G p . Par hypothèse G i est un groupe donc :
(R · P) · Q, Q · (R · P) ∈ G i et ∈ R · G p
(R · P)(R · Q) ∈ G i et ∈ G p
De plus ∀P, Q ∈ G p on a :
R·P·Q = I·(R·P·Q) et Q·R·P = I·(Q·R·P) ∈ I·R·G p ⇒ R·P·Q, Q·R·P ∈ R·G p
ÓÒÒ
(R · P) · (R · Q) = (I · R · P) · (I · R · Q) = (R · P) · (R · Q) ∈ G p
Ø ÒÒÒ
(R · P) −1 ∈ R · G p ⇒ (R · P) −1 ∈ R · G p
G forme donc un groupe ne contenant que des opérations propres.
Pour construire les groupes impropres G i ne contenant pas l’inversion, on pourra
partir des groupes propres G admettant un sous-groupe propre invariant G p d’indice
2, en remplaçant l’élément R, facteur du second coensemble de la décomposition,
par son produit par l’inversion.
5.3 DÉNOMBREMENT DES GROUPES PONCTUELS
5.3.1 Méthode de dénombrement
Pour effectuer le dénombrement des groupes ponctuels cristallographiques, il suffit
de déterminer tous les groupes propres et d’utiliser les remarques précédentes pour
en déduire les groupes impropres.
Les groupes propres correspondent à des axes de rotations. Les axes de rotation
compatibles avec la symétrie d’un réseau étant les axes 1, 2, 3, 4 et 6, les groupes
ponctuels cristallographiques contiennent a priori les groupes cycliques C 1 , C 2 , C 3 ,
C 4 et C 6 . Le but du dénombrement est de trouver quelles sont les associations d’axes
de rotation C n , C m . . . compatibles avec une structure de groupe.