5.2 Groupes ponctuels propres et impropres
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La notation usuelle du produit direct est la suivante :
G = H ⊗ K , (H ⊂ G, K ⊂ G)
5.2 GROUPES PONCTUELS PROPRES ET IMPROPRES
Ce sont les sous-groupes du groupe O(3). Il en existe une infinité. On se propose
ici de dénombrer les groupes ponctuels cristallographiques, c’est-à-dire compatibles
avec la symétrie d’un réseau cristallin.
On distingue deux types de groupe :
– les groupes propres qui ne contiennent que des rotations (déterminants des matrices égaux à +1),
– les groupes impropres qui contiennent des rotations (déterminants des matrices
égaux à +1) et des rotations-inversions ou roto-inversions (déterminants des matrices égaux à −1).
5.2.1 Théorème sur les groupes impropres
Dans un groupe impropre Gi, les opérateurs propres constituent un sous-groupe
propre d’indice 2.
Soit G i un groupe impropre. Dans G i existent des opérations de symétrie propres
(il existe au moins l’identité E). Soient E, R, R j ...R n les opérateurs propres de G i ; ils
constituent un sous-groupe propre : G p = {E, R, R j ...R n } dont les déterminants D
des matrices associées sont égaux à +1.
Soit R un élément impropre (D = −1) et R
−1 son inverse R · R
−1 = E ; (R)
2 est un
élément propre (car D = +1) donc (R)
2
= R j
R
−1 · R · R = R
−1 · R j ⇒ R = R
−1 · R j
R · R
−1
j
= R
−1 · R j · R
−1
j
⇒ R
−1 = R · R
−1
j
Formons le coensemble associé au sous-groupe G p :
R · G p =
R, R · R 1 , . . . , R · R j , . . . , R · R n
Soit R
un élément impropre quelconque :
R · R
est un élément propre (D = −1 · −1 = +1) ⇒ R · R
= R k
R
−1 · R · R
= R
−1 · R k
mais
R
−1 = R · R
−1
j
R
= R · R
−1
j · R k = R · R m
R
appartient au coensemble associé R · G p et tous les éléments impropres de G i
appartiennent au coensemble associé à G p .