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5 • Dénombrement des groupes ponctuels cristallographiques
Il importe de bien faire la distinction entre un élément de symétrie et le ou les opérateurs associés qui sont un ou des éléments du groupe des opérateurs de symétrie.
Par exemple, dans un groupe contenant un axe 4 (élément de symétrie) figurent les 4
opérateurs C
1
4 , C
2
4 , C
3
4 , C
4
4 = E (éléments du groupe).
5.1.2 Sous-groupes et coensembles
Soit G un groupe d’ordre g. Un sous-ensemble H de G est un sous-groupe de G si
H constitue lui-même un groupe relativement à la loi de composition définissant le
groupe G.
Exemple : C 3 est un sous-groupe de D 3 .
Soit G un groupe d’ordre g fini et H un sous-groupe de G d’ordre h non confondu
avec G ; il existe au moins un élément A de G, non contenu dans H.
∀ X ∈ G, A · X ∈ G,
A · X ∈ H
Tous les A · X (quand X décrit H) sont extérieurs à ce sous-groupe et forment un
ensemble de h éléments distincts, noté AH, et nommé coensemble.
On peut décomposer G en une réunion de sous-ensembles disjoints, définis à partir
de H :
G = E · H + A · H + B · H + . . .
A ∈ H
B ∈ H
B ∈ A · H . . .
L’ordre h d’un sous-groupe H est diviseur de g ordre du groupe (i = g/h). i est
l’indice du sous-groupe H par rapport au groupe G.
Exemple : H = C 3 est un sous-groupe d’indice 3 de G = D 3 . (D 3 = E · C 3 + C 2 · C 3 )
5.1.3 Le groupe orthogonal O(3)
On considère l’ensemble des rotations laissant un point invariant. Les déterminants
des matrices associées à ces rotations sont égaux à +1. On considère également l’opérateur inversion qui transforme le vecteur r en −r et qui commute avec les rotations.
Le déterminant D de la matrice associée à cet opérateur est égal à −1. L’ensemble
des rotations et des rotations-inversions constitue le groupe orthogonal O(3).
5.1.4 Produit direct de deux sous-groupes d’un groupe
Soit G un groupe, H et K deux sous-groupes de G. On dit que G est le produit direct
de ces deux sous-groupes si :
– tout élément g de G apparaît comme produit d’un élément h ∈ H par un élément
k ∈ K :
g = h · k,
– cette décomposition est unique pour un élément donné g de G,
– les éléments de H et K commutent.
5 • Dénombrement des groupes ponctuels cristallographiques
Il importe de bien faire la distinction entre un élément de symétrie et le ou les opérateurs associés qui sont un ou des éléments du groupe des opérateurs de symétrie.
Par exemple, dans un groupe contenant un axe 4 (élément de symétrie) figurent les 4
opérateurs C
1
4 , C
2
4 , C
3
4 , C
4
4 = E (éléments du groupe).
5.1.2 Sous-groupes et coensembles
Soit G un groupe d’ordre g. Un sous-ensemble H de G est un sous-groupe de G si
H constitue lui-même un groupe relativement à la loi de composition définissant le
groupe G.
Exemple : C 3 est un sous-groupe de D 3 .
Soit G un groupe d’ordre g fini et H un sous-groupe de G d’ordre h non confondu
avec G ; il existe au moins un élément A de G, non contenu dans H.
∀ X ∈ G, A · X ∈ G,
A · X ∈ H
Tous les A · X (quand X décrit H) sont extérieurs à ce sous-groupe et forment un
ensemble de h éléments distincts, noté AH, et nommé coensemble.
On peut décomposer G en une réunion de sous-ensembles disjoints, définis à partir
de H :
G = E · H + A · H + B · H + . . .
A ∈ H
B ∈ H
B ∈ A · H . . .
L’ordre h d’un sous-groupe H est diviseur de g ordre du groupe (i = g/h). i est
l’indice du sous-groupe H par rapport au groupe G.
Exemple : H = C 3 est un sous-groupe d’indice 3 de G = D 3 . (D 3 = E · C 3 + C 2 · C 3 )
5.1.3 Le groupe orthogonal O(3)
On considère l’ensemble des rotations laissant un point invariant. Les déterminants
des matrices associées à ces rotations sont égaux à +1. On considère également l’opérateur inversion qui transforme le vecteur r en −r et qui commute avec les rotations.
Le déterminant D de la matrice associée à cet opérateur est égal à −1. L’ensemble
des rotations et des rotations-inversions constitue le groupe orthogonal O(3).
5.1.4 Produit direct de deux sous-groupes d’un groupe
Soit G un groupe, H et K deux sous-groupes de G. On dit que G est le produit direct
de ces deux sous-groupes si :
– tout élément g de G apparaît comme produit d’un élément h ∈ H par un élément
k ∈ K :
g = h · k,
– cette décomposition est unique pour un élément donné g de G,
– les éléments de H et K commutent.