5.1 Structure de groupe
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– G contient un élément neutre ou identité E tel que :
∀X ∈ G, E · X = X = X · E
– À tout élément de G, on peut associer un autre élément de cet ensemble qui est
son inverse :
∀X ∈ G, ∃X
−1
∈ G avec : X · X
−1
= E = X
−1
· X.
(Exemple : X = Rotation (u, w) ; X
−1
= Rotation (u, −w).)
L’ordre g d’un groupe G est égal au nombre de ses éléments.
Exemples de groupes :
– Soit un vecteur r. Les deux opérations E et I forment le groupe {E, I} :
E : identité (r = E · r)
I:inversion(−r = I · r).
– Groupe {E, C 2 }
E : identité
C 2 : rotation (u, p) autour d’un axe de R 3 .
– Un groupe formé par un élément et ses puissances {A, A
2
= A·A, A
3
. . . A
n
= E}
est un groupe cyclique. Les rotations de 2p/n, (n entier) autour d’un axe, sont des
groupes cycliques C n . Par exemple le groupe C 3 contient les éléments :
C 3 =
C
1
3 = (u, 2p/3), C
2
3 = (u, 4p/3) , C
3
3 = (u, 2p) = E
– Les groupes formés à partir de A et B et contenant les éléments
{A, A
2
. . . A
n
= B
2
= E, B, B · A = A
n−1
· B . . .} sont les groupes diédraux
D n .
Ainsi le groupe à 6 éléments :
C
1
3 = (k, 2p/3), C
2
3 , C
3
3 = C
2
2 = E,
C 2 = (u, p), C 3 · C 2 = (v, p),
C
2
3 · C 2 = C 2 · C 3 = (w, p)
est le groupe diédral D 3 (formé à partir d’un C 3 et d’un C 2
orthogonaux.)
Remarque : Aux objets abstraits que sont les groupes, on peut associer des représentations de ces groupes. Par exemple, pour un groupe constitué d’opérations de symétrie, les matrices associées à chaque élément du groupe forment
une représentation qui est liée au choix de l’origine et du repère utilisé.