Chapitre 5
Dénombrement des groupes
ponctuels cristallographiques
Parmi les nombreuses méthodes développées, depuis les travaux de Bravais, pour
le dénombrement des groupes ponctuels cristallographiques, nous avons retenu la
méthode proposée par Burckhardt
½
. Cette méthode élégante, qui n’utilise que des
notions élémentaires de la théorie des groupes, est facilement abordable par les non
spécialistes. Les rappels qui suivent sont uniquement destinés aux lecteurs peu familiers de la théorie des groupes. Les exemples donnés dans ces rappels sont tous
relatifs à des opérations de symétrie cristalline.
5.1 STRUCTURE DE GROUPE
5.1.1 Axiomes de définition
Un ensemble G d’éléments X, Y, Z... sera un groupe, si :
– On peut le doter d’une loi de composition interne associative, qui au couple ordonné (X, Y) d’éléments de G, fait correspondre un autre élément de G, appelé
produit et noté X · Y (Exemple : Produit de deux rotations). Ce produit peut être
non commutatif (X · Y = Y · X). Si le produit est commutatif le groupe est dit
abélien.
1. J.J. BURCKARDT Die Bewegungsgruppen der Kristallographie, Basel (1947).