4.3 Axes de symétrie possibles dans un réseau cristallin
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pouvant également être notée :
x
= R · x + t
Les éléments r i j de la matrice R représentent une rotation propre ou impropre et les
t i une translation.
4.2.4 Matrices homogènes
Pour représenter les opérations de symétrie, on peut également utiliser les matrices
homogènes qui sont des 4 × 4 matrices, permettant de calculer les nouvelles coordonnées en fonction des anciennes, selon la relation :
(x
1 , x
2 , x
3 , 1) = (x 1 , x 2 , x 3 , 1).
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
r 11 r 12 r 13 0
r 21 r 22 r 23 0
r 31 r 32 r 33 0
t 1 t 2 t 3 1
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
Les r i j représentent une rotation propre ou impropre et les t i une translation.
4.3 AXES DE SYMÉTRIE POSSIBLES DANS UN RÉSEAU
CRISTALLIN
Le postulat d’invariance du réseau cristallin implique que lors d’une rotation d’angle
w, caractérisée par une matrice (R w), tout vecteur du réseau (et donc de coordonnées
entières) se transforme en un autre vecteur du réseau dont les coordonnées sont également entières. Donc, tous les éléments de la matrice (Rw), exprimée dans le repère
des vecteurs de base, sont entiers et par suite, la trace de (R w) est aussi entière. La
trace des matrices rotations, qui est invariante dans tout changement de repère, est
égale à :
Tr(R(w)) = ±(1 + 2 · cos w)
Le signe + correspond aux rotations propres et le signe aux rotations impropres. Les
valeurs de w, compatibles avec la nature d’un réseau cristallin, doivent satisfaire la
relation :
1 + 2 · cos w = m (entier)
qui possède seulement 5 solutions de la forme w = 2p/n, avec n = 1, 2, 3, 4 et 6 :
m = 3
cos w = +1
w = 0, 2p... Identité
m = 2
cos w = +1/2 w = ±2p/6
C 6
m = 1
cos w = 0
w = ±2p/4
C 4
m = 0
cos w = −1/2 w = ±2p/3
C 3
m = −1 cos w = −1
w = 2p/2
C 2