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4 • Opérations de symétrie dans les réseaux cristallins
est particulièrement simple. Si OQ, projection de OP sur xOy fait l’angle u avec Ox,
son image OQ
dans une rotation d’angle w autour de l’axe Oz fait avec Ox l’angle
u + w. Les coordonnées du point Q sont x = R cos u et y = R sin u et celles de Q
sont x
= R cos(u + w) et y
= R sin(u + w). Dans un repère orthonormé, la matrice
rotation autour de l’axe Oz s’écrit donc :
R(w) =
⎛
⎜
⎝
cos w − sin w 0
sin w cos w 0
0
0
1
⎞
⎟
⎠
Le déterminant de cette matrice orthogonale est égal à +1 et sa trace (somme des
termes de la diagonale principale) est égale à : Tr = 1 + 2 · cos w.
On démontre en algèbre linéaire que le déterminant et la trace d’une matrice sont
des invariants lors d’un changement de repère.
Le déterminant D de la matrice représentant une rotation propre est donc toujours
égal à +1.
Dans un repère orthonormé, l’expression de la matrice rotation (d’angle u) autour
d’un axe dont les cosinus directeurs sont l, m et n est la suivante :
⎛
⎜
⎝
x
y
z
⎞
⎟
⎠ =
⎛
⎜
⎝
l
2 + (m
2 + n
2 ) cos u
lm(1 − cos u) − n sin u nl(1 − cos u) + m sin u
lm(1 − cos u) + n sin u
m
2 + (l
2 + n
2 ) cos u
mn(1 − cos u) − l sin u
nl(1 − cos u) − m sin u mn(1 − cos u) + l sin u
n
2 + (m
2 + l
2 ) cos u
⎞
⎟
⎠ ·
⎛
⎜
⎝
x
y
z
⎞
⎟
⎠
4.2.2 Matrice inversion
Dans un repère orthonormé la matrice inversion s’écrit :
I =
⎛
⎜
⎝
−1
0
0
0 −1
0
0
0 −1
⎞
⎟
⎠
Son déterminant D est égal à −1. Une rotation impropre, étant le produit d’une
rotation propre (D = 1) par une inversion (D = −1), peut être représentée par une
matrice dont le déterminant est aussi égal à −1.
4.2.3 Transformations affines
De manière générale, on peut représenter une opération de symétrie géométrique par
une application affine du type :
⎛
⎜
⎝
x
1
x
2
x
3
⎞
⎟
⎠ =
⎛
⎜
⎝
r 11 r 12 r 13
r 21 r 22 r 23
r 31 r 32 r 33
⎞
⎟
⎠ ·
⎛
⎜
⎝
x 1
x 2
x 3
⎞
⎟
⎠ +
⎛
⎜
⎝
t 1
t 2
t 3
⎞
⎟
⎠
4 • Opérations de symétrie dans les réseaux cristallins
est particulièrement simple. Si OQ, projection de OP sur xOy fait l’angle u avec Ox,
son image OQ
dans une rotation d’angle w autour de l’axe Oz fait avec Ox l’angle
u + w. Les coordonnées du point Q sont x = R cos u et y = R sin u et celles de Q
sont x
= R cos(u + w) et y
= R sin(u + w). Dans un repère orthonormé, la matrice
rotation autour de l’axe Oz s’écrit donc :
R(w) =
⎛
⎜
⎝
cos w − sin w 0
sin w cos w 0
0
0
1
⎞
⎟
⎠
Le déterminant de cette matrice orthogonale est égal à +1 et sa trace (somme des
termes de la diagonale principale) est égale à : Tr = 1 + 2 · cos w.
On démontre en algèbre linéaire que le déterminant et la trace d’une matrice sont
des invariants lors d’un changement de repère.
Le déterminant D de la matrice représentant une rotation propre est donc toujours
égal à +1.
Dans un repère orthonormé, l’expression de la matrice rotation (d’angle u) autour
d’un axe dont les cosinus directeurs sont l, m et n est la suivante :
⎛
⎜
⎝
x
y
z
⎞
⎟
⎠ =
⎛
⎜
⎝
l
2 + (m
2 + n
2 ) cos u
lm(1 − cos u) − n sin u nl(1 − cos u) + m sin u
lm(1 − cos u) + n sin u
m
2 + (l
2 + n
2 ) cos u
mn(1 − cos u) − l sin u
nl(1 − cos u) − m sin u mn(1 − cos u) + l sin u
n
2 + (m
2 + l
2 ) cos u
⎞
⎟
⎠ ·
⎛
⎜
⎝
x
y
z
⎞
⎟
⎠
4.2.2 Matrice inversion
Dans un repère orthonormé la matrice inversion s’écrit :
I =
⎛
⎜
⎝
−1
0
0
0 −1
0
0
0 −1
⎞
⎟
⎠
Son déterminant D est égal à −1. Une rotation impropre, étant le produit d’une
rotation propre (D = 1) par une inversion (D = −1), peut être représentée par une
matrice dont le déterminant est aussi égal à −1.
4.2.3 Transformations affines
De manière générale, on peut représenter une opération de symétrie géométrique par
une application affine du type :
⎛
⎜
⎝
x
1
x
2
x
3
⎞
⎟
⎠ =
⎛
⎜
⎝
r 11 r 12 r 13
r 21 r 22 r 23
r 31 r 32 r 33
⎞
⎟
⎠ ·
⎛
⎜
⎝
x 1
x 2
x 3
⎞
⎟
⎠ +
⎛
⎜
⎝
t 1
t 2
t 3
⎞
⎟
⎠