4.2 Représentations des opérations de symétrie
45
Dans ce produit, B est un point invariant et BH =
T
2 · tg(w/2)
.
Le produit d’une rotation R(u, w) par une translation T, normale à l’axe de rotation
u, est une rotation dont l’angle est égal à w et dont l’axe v est situé sur la médiatrice
du vecteur T.
c) Produit d’une rotation impropre par une translation
➤ S est parallèle à u
I · R(u, w) = R(u, w). ⇒ R · S // = −S //
T
= R · S // − S // + T = −2S // + T //
Il est donc toujours possible d’annuler T par un changement d’origine.
Il n’existe pas d’axes hélicoïdaux impropres.
➤ S est perpendiculaire à u
La figure 4.13 est tracée dans le plan perpendiculaire à
l’axe de symétrie et contenant le vecteur T. Dans le cas
général S − R · S = 0 : il est possible d’annuler T.
Par contre, dans le cas particulier d’un miroir [axe
C 2 = s = R(u, p)], on a :
S = R · S
Il est donc impossible, dans le produit d’une translation
par un miroir, d’annuler la translation par un changement
d’origine.
Figure 4.13
Le produit d’un miroir par une translation donne un miroir de glissement.
Dans un réseau cristallin, seules des valeurs compatibles avec les opérations de
recouvrement du réseau sont autorisées pour le vecteur de glissement T.
4.2 REPRÉSENTATIONS DES OPÉRATIONS DE SYMÉTRIE
4.2.1 Matrices rotations
Soient OP un vecteur et OP
son image dans une rotation. On peut représenter cette
rotation par une matrice permettant de calculer les coordonnées de P
en fonction des
coordonnées de P. Dans un repère orthonormé l’expression des matrices rotations
4. Ne pas confondre les matrices rotations (nouvelles coordonnées d’un point dans le repère après rotation)
avec les matrices de changement de repère liées à une rotation des axes (nouveaux axes en fonction des
anciens).
45
Dans ce produit, B est un point invariant et BH =
T
2 · tg(w/2)
.
Le produit d’une rotation R(u, w) par une translation T, normale à l’axe de rotation
u, est une rotation dont l’angle est égal à w et dont l’axe v est situé sur la médiatrice
du vecteur T.
c) Produit d’une rotation impropre par une translation
➤ S est parallèle à u
I · R(u, w) = R(u, w). ⇒ R · S // = −S //
T
= R · S // − S // + T = −2S // + T //
Il est donc toujours possible d’annuler T par un changement d’origine.
Il n’existe pas d’axes hélicoïdaux impropres.
➤ S est perpendiculaire à u
La figure 4.13 est tracée dans le plan perpendiculaire à
l’axe de symétrie et contenant le vecteur T. Dans le cas
général S − R · S = 0 : il est possible d’annuler T.
Par contre, dans le cas particulier d’un miroir [axe
C 2 = s = R(u, p)], on a :
S = R · S
Il est donc impossible, dans le produit d’une translation
par un miroir, d’annuler la translation par un changement
d’origine.
Figure 4.13
Le produit d’un miroir par une translation donne un miroir de glissement.
Dans un réseau cristallin, seules des valeurs compatibles avec les opérations de
recouvrement du réseau sont autorisées pour le vecteur de glissement T.
4.2 REPRÉSENTATIONS DES OPÉRATIONS DE SYMÉTRIE
4.2.1 Matrices rotations
Soient OP un vecteur et OP
son image dans une rotation. On peut représenter cette
rotation par une matrice permettant de calculer les coordonnées de P
en fonction des
coordonnées de P. Dans un repère orthonormé l’expression des matrices rotations
4. Ne pas confondre les matrices rotations (nouvelles coordonnées d’un point dans le repère après rotation)
avec les matrices de changement de repère liées à une rotation des axes (nouveaux axes en fonction des
anciens).