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4 • Opérations de symétrie dans les réseaux cristallins
On recherche les vecteurs S qui permettent d’annuler si possible la partie translatoire T
= R · S − S + T de l’opération produit (R
, T
).
En effet, si T est nul, le produit de la rotation R(u, w) par la translation T est égal
à une rotation pure R(u
, w).
On peut décomposer les vecteurs S et T en une composante parallèle à l’axe u de
la rotation et une composante perpendiculaire.
S = S // + S ⊥
T = T // + T ⊥
En tenant compte de cette décomposition du vecteur translation, il faut envisager les
quatre possibilités suivantes de composition d’une rotation, qui peut être propre ou
impropre, avec la translation qui est parallèle ou perpendiculaire.
b) Produits d’une rotation propre par une translation
➤ S est parallèle à u
Dans ce cas, l’effet produit par la rotation sur le vecteur
translation est l’invariant R · S // ≡ S // . Il est alors impossible d’annuler T
par un changement d’origine. Les images
successives sont placées sur une hélice dont l’axe est u et le
pas T.
La figure 4.11 correspond à un axe R(u, w = 2p/3), T
(C 3 hélicoïdal) appliqué 4 fois successivement.
Figure 4.11
Le produit d’une rotation R(u, w) par une translation T parallèle à l’axe de rotation
u est un « vissage » ou « axe hélicoïdal » dont l’axe est également l’axe u et dont
l’angle est égal à w.
Dans un cristal, un axe hélicoïdal ne peut être un élément de symétrie que si les
valeurs de w et de T sont compatibles avec les opérations de recouvrement du réseau.
(Sur la figure 4.11, si 1 est un nœud, 4 doit aussi être un nœud).
➤ S est perpendiculaire à u
La figure 4.12 est tracée dans le plan perpendiculaire à l’axe de symétrie u en A et contenant
le vecteur T.
Si S est tel que S ⊥ − R · S ⊥ = T, alors :
R(u, w), T = R(v, w), 0
En prenant B, trace de v dans le plan de
figure, sur la médiatrice de T avec l’angle
{BAz} = w/2, on transforme alors le produit
R(u, w), T en une rotation pure d’angle égal à w
mais dont l’axe est le vecteur v // u.
Figure 4.12
4 • Opérations de symétrie dans les réseaux cristallins
On recherche les vecteurs S qui permettent d’annuler si possible la partie translatoire T
= R · S − S + T de l’opération produit (R
, T
).
En effet, si T est nul, le produit de la rotation R(u, w) par la translation T est égal
à une rotation pure R(u
, w).
On peut décomposer les vecteurs S et T en une composante parallèle à l’axe u de
la rotation et une composante perpendiculaire.
S = S // + S ⊥
T = T // + T ⊥
En tenant compte de cette décomposition du vecteur translation, il faut envisager les
quatre possibilités suivantes de composition d’une rotation, qui peut être propre ou
impropre, avec la translation qui est parallèle ou perpendiculaire.
b) Produits d’une rotation propre par une translation
➤ S est parallèle à u
Dans ce cas, l’effet produit par la rotation sur le vecteur
translation est l’invariant R · S // ≡ S // . Il est alors impossible d’annuler T
par un changement d’origine. Les images
successives sont placées sur une hélice dont l’axe est u et le
pas T.
La figure 4.11 correspond à un axe R(u, w = 2p/3), T
(C 3 hélicoïdal) appliqué 4 fois successivement.
Figure 4.11
Le produit d’une rotation R(u, w) par une translation T parallèle à l’axe de rotation
u est un « vissage » ou « axe hélicoïdal » dont l’axe est également l’axe u et dont
l’angle est égal à w.
Dans un cristal, un axe hélicoïdal ne peut être un élément de symétrie que si les
valeurs de w et de T sont compatibles avec les opérations de recouvrement du réseau.
(Sur la figure 4.11, si 1 est un nœud, 4 doit aussi être un nœud).
➤ S est perpendiculaire à u
La figure 4.12 est tracée dans le plan perpendiculaire à l’axe de symétrie u en A et contenant
le vecteur T.
Si S est tel que S ⊥ − R · S ⊥ = T, alors :
R(u, w), T = R(v, w), 0
En prenant B, trace de v dans le plan de
figure, sur la médiatrice de T avec l’angle
{BAz} = w/2, on transforme alors le produit
R(u, w), T en une rotation pure d’angle égal à w
mais dont l’axe est le vecteur v // u.
Figure 4.12