4.1 Définition des opérations de symétrie
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4.1.6 Rotations propres et impropres
Une rotation pure peut être remplacée par une transformation continue de l’espace,
donc sans modification de l’orientation de l’espace. Un objet et son image dans l’opération sont rigoureusement superposables. On dit qu’une telle rotation est une rotation propre. Par opposition les opérations qui modifient l’orientation de l’espace,
(comme l’inversion) et pour lesquelles objet et image ne sont pas superposables,
sont dites des rotations impropres.
4.1.7 Produit d’une rotation par une translation
On note (R, T) le produit d’une rotation R(u, w) par une translation de vecteur T.
Cette opération associe au vecteur X son image Y telle que :
Y = (R, T) · X
Remarque : Si on applique successivement
(R, T) puis (R
, T
) à X on obtient :
X = (R, T) · X
X
= (R , T ) · X = (R , T ) · (R, T) · X
(R
, T
) · (R, T) = (R
· R, R
· T + T
) avec :
R
· R = R(u, w + w
)
Figure 4.10 Cas T = 0
a) Opération équivalente
Si on effectue une translation de l’origine du repère initial, caractérisée par un vecteur
S, cette translation modifie l’opérateur (R, T ), et dans le nouveau repère on a :
Y
= (R
, T
) · X
Le vecteur S est choisi pour que (R
, T
) soit équivalent à un opérateur (R
, 0) ne
contenant plus de translation :
(R
, T
) = (R
, 0) = R(u
, w
)
Dans ce changement de repère, on a : X = X
+ S
Si E est la rotation identité, cette relation peut s’écrire sous la forme :
X = X
+ S = (E, S) · X
⇒ X
= X − S = (E, −S) · X
Y
= (E, −S) · Y = (R
, T
) · X
Y
= (E, −S) · Y = (E, −S) · (R, T) · X = (E, −S) · (R, T) · (E, S) · X
(E, −S) · (R, T) · (E, S) = (R
, T
)
En effectuant le produit des trois opérations de symétrie, on tire :
(R
, T
) = (R, R · S − S + T)