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4 • Opérations de symétrie dans les réseaux cristallins
angles w et g sont supplémentaires. Les relations trigonométriques donnent :
cos g = − cos w = cos a · cos b − sin a · sin b · cos c
Ce produit n’est pas commutatif ; pour l’opération inverse, la trace de l’axe de
rotation est C 1 et l’angle de la rotation produit est également +2g.
Remarque : Si les deux axes sont des axes binaires (2a = 2b = p), on
retrouve le fait que l’angle de la rotation produit est égal à 2c.
➤ Formules de Rodrigues
¿
Ces relations rarement utilisées sont souvent plus faciles à mettre en œuvre que les
angles d’Euler.
La rotation R(u 1 , 2a) peut être remplacée par le produit de deux miroirs ayant comme
normales les vecteurs unitaires a et b et sécants selon u 1 .
De même, on remplace la rotation R(u 2 , 2b) par le produit de deux miroirs ayant
comme normales les vecteurs unitaires b
et c et sécants selon u 2 . Les positions
des miroirs a (autour de u 1 ) et c (autour de u 2 ) étant arbitraires, il est possible de
confondre les plans des miroirs b et b avec le plan des vecteurs u 1 et u 2 .
Le produit des deux rotations est identique au produit des miroirs a et c. C’est donc
une rotation R(u, 2g).
On pose : a · c = cos g a · b = cos a b · c = cos b cos c = u 1 · u 2
S = a ∧ c = sin g · u S 1 = a ∧ b = sin a · u 1 S 2 = b ∧ c = sin b · u 2
On calcule les produits S 1 ∧ b et S 2 ∧ b :
S 1 ∧ b = (a ∧ b) ∧ b = (a · b)b − (b · b) a = cos a · b − a
Soit : a = cos a · b − S 1 ∧ b et de même : c = cos b · b − S 2 ∧ b
On calcule ensuite a · c puis a ∧ c
a · c = cos a · cos b − cos b · b · (S 1 ∧ b) − cos a.b · (S 2 ∧ b) + (S 1 ∧ b) · (S 2 ∧ b)
a · c = cos g = cos a · cosb − S 1 · S 2
On tire la première formule de Rodrigues (angle de la rotation produit) :
cos g = cos a · cos b − sin a · sin b · cos c
a∧c = cos a·cos b·(b∧b)+cos a·b∧(S 2 ∧b)+cos b·b∧(S 1 ∧b)−(S 1 ∧b)∧(S 2 ∧b)
S = a ∧ c = cos b · S 1 + cos a · S 2 − S 1 ∧ S 2
La seconde formule de Rodrigues donne l’orientation de l’axe produit :
sin g · u = cos b · sin a · u 1 + cos a · sin b · u 2 − sin a · sin b · (u 1 ∧ u 2 )
3. Olinde RODRIGUES : mathématicien français (1794-1851).
4 • Opérations de symétrie dans les réseaux cristallins
angles w et g sont supplémentaires. Les relations trigonométriques donnent :
cos g = − cos w = cos a · cos b − sin a · sin b · cos c
Ce produit n’est pas commutatif ; pour l’opération inverse, la trace de l’axe de
rotation est C 1 et l’angle de la rotation produit est également +2g.
Remarque : Si les deux axes sont des axes binaires (2a = 2b = p), on
retrouve le fait que l’angle de la rotation produit est égal à 2c.
➤ Formules de Rodrigues
¿
Ces relations rarement utilisées sont souvent plus faciles à mettre en œuvre que les
angles d’Euler.
La rotation R(u 1 , 2a) peut être remplacée par le produit de deux miroirs ayant comme
normales les vecteurs unitaires a et b et sécants selon u 1 .
De même, on remplace la rotation R(u 2 , 2b) par le produit de deux miroirs ayant
comme normales les vecteurs unitaires b
et c et sécants selon u 2 . Les positions
des miroirs a (autour de u 1 ) et c (autour de u 2 ) étant arbitraires, il est possible de
confondre les plans des miroirs b et b avec le plan des vecteurs u 1 et u 2 .
Le produit des deux rotations est identique au produit des miroirs a et c. C’est donc
une rotation R(u, 2g).
On pose : a · c = cos g a · b = cos a b · c = cos b cos c = u 1 · u 2
S = a ∧ c = sin g · u S 1 = a ∧ b = sin a · u 1 S 2 = b ∧ c = sin b · u 2
On calcule les produits S 1 ∧ b et S 2 ∧ b :
S 1 ∧ b = (a ∧ b) ∧ b = (a · b)b − (b · b) a = cos a · b − a
Soit : a = cos a · b − S 1 ∧ b et de même : c = cos b · b − S 2 ∧ b
On calcule ensuite a · c puis a ∧ c
a · c = cos a · cos b − cos b · b · (S 1 ∧ b) − cos a.b · (S 2 ∧ b) + (S 1 ∧ b) · (S 2 ∧ b)
a · c = cos g = cos a · cosb − S 1 · S 2
On tire la première formule de Rodrigues (angle de la rotation produit) :
cos g = cos a · cos b − sin a · sin b · cos c
a∧c = cos a·cos b·(b∧b)+cos a·b∧(S 2 ∧b)+cos b·b∧(S 1 ∧b)−(S 1 ∧b)∧(S 2 ∧b)
S = a ∧ c = cos b · S 1 + cos a · S 2 − S 1 ∧ S 2
La seconde formule de Rodrigues donne l’orientation de l’axe produit :
sin g · u = cos b · sin a · u 1 + cos a · sin b · u 2 − sin a · sin b · (u 1 ∧ u 2 )
3. Olinde RODRIGUES : mathématicien français (1794-1851).