4.1 Définition des opérations de symétrie
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e) Produit de deux miroirs sécants
Soient deux miroirs s et s
, dont les plans se
coupent suivant la droite u. Ces deux plans font
entre eux l’angle dièdre w. Leur produit est une rotation d’angle 2w autour de l’axe u. Le sens de cette
rotation est celui qui amène le premier miroir à intervenir dans le produit, sur le second.
Si w = p/n, l’axe est un C n : s
· s = C n et on a
également : C n · s = s
et s
· C n = s.
Noter que (2) est au-dessus du plan de figure.
Figure 4.8
Réciproquement une rotation R(u, w) peut être décomposée en un produit de deux
miroirs s et s
sécants selon l’axe u et faisant l’angle dièdre w/2. La position du
premier miroir est arbitraire.
f) Produit d’un C 2 par un C n perpendiculaire au C 2
On suppose que w = p/n avec n entier. Les résultats précédents montrent que ce
produit est un axe binaire perpendiculaire à l’axe C n , faisant un angle égal à ± w/2
avec l’axe binaire initial, le signe étant fonction de l’ordre des facteurs dans le produit. La même étude peut être réalisée pour le produit d’un miroir par un C n contenu
dans le miroir. Le produit est un miroir, contenant aussi l’axe, et faisant avec le miroir
initial un angle dièdre égal à ± w/2.
S’il existe un C 2 normal à un C n , il en existe n. De même s’il existe un miroir
contenant un C n , il en existe n.
g) Produit de deux rotations autour d’axes sécants
➤ Utilisation de la trigonométrie sphérique
Soient les deux rotations R(OA, 2a) et R(OB, 2b) dont les axes se coupent en O. On
pose {AOB} = c. Considérons la sphère de centre O et A et B les traces des axes de
rotation (pôles de rotation) sur cette sphère.
Le produit des deux rotations est une rotation autour d’un axe OC et dont l’angle vaut 2g. Sur
la sphère, on trace les grands cercles AC faisant
avec AB l’angle +a et BC faisant avec AB l’angle
b. De même on trace les grands cercles AC 1 et
BC 1 faisant avec AB les angles a et +b. La rotation R(OA, 2a) amène C en C 1 puis la rotation
R(OB, 2b) amène C 1 en C. C étant invariant dans
l’opération est donc l’axe de la rotation produit.
Figure 4.9
On applique le produit des rotations au vecteur OA : on obtient le vecteur OA 1
l’angle de la rotation produit étant égal à 2g. Dans le triangle sphérique ABC, les
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e) Produit de deux miroirs sécants
Soient deux miroirs s et s
, dont les plans se
coupent suivant la droite u. Ces deux plans font
entre eux l’angle dièdre w. Leur produit est une rotation d’angle 2w autour de l’axe u. Le sens de cette
rotation est celui qui amène le premier miroir à intervenir dans le produit, sur le second.
Si w = p/n, l’axe est un C n : s
· s = C n et on a
également : C n · s = s
et s
· C n = s.
Noter que (2) est au-dessus du plan de figure.
Figure 4.8
Réciproquement une rotation R(u, w) peut être décomposée en un produit de deux
miroirs s et s
sécants selon l’axe u et faisant l’angle dièdre w/2. La position du
premier miroir est arbitraire.
f) Produit d’un C 2 par un C n perpendiculaire au C 2
On suppose que w = p/n avec n entier. Les résultats précédents montrent que ce
produit est un axe binaire perpendiculaire à l’axe C n , faisant un angle égal à ± w/2
avec l’axe binaire initial, le signe étant fonction de l’ordre des facteurs dans le produit. La même étude peut être réalisée pour le produit d’un miroir par un C n contenu
dans le miroir. Le produit est un miroir, contenant aussi l’axe, et faisant avec le miroir
initial un angle dièdre égal à ± w/2.
S’il existe un C 2 normal à un C n , il en existe n. De même s’il existe un miroir
contenant un C n , il en existe n.
g) Produit de deux rotations autour d’axes sécants
➤ Utilisation de la trigonométrie sphérique
Soient les deux rotations R(OA, 2a) et R(OB, 2b) dont les axes se coupent en O. On
pose {AOB} = c. Considérons la sphère de centre O et A et B les traces des axes de
rotation (pôles de rotation) sur cette sphère.
Le produit des deux rotations est une rotation autour d’un axe OC et dont l’angle vaut 2g. Sur
la sphère, on trace les grands cercles AC faisant
avec AB l’angle +a et BC faisant avec AB l’angle
b. De même on trace les grands cercles AC 1 et
BC 1 faisant avec AB les angles a et +b. La rotation R(OA, 2a) amène C en C 1 puis la rotation
R(OB, 2b) amène C 1 en C. C étant invariant dans
l’opération est donc l’axe de la rotation produit.
Figure 4.9
On applique le produit des rotations au vecteur OA : on obtient le vecteur OA 1
l’angle de la rotation produit étant égal à 2g. Dans le triangle sphérique ABC, les