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4 • Opérations de symétrie dans les réseaux cristallins
Les seuls axes de symétrie possibles pour un réseau cristallin sont donc, en dehors
de l’identité, les axes 2, 3, 4 et 6.
On peut aussi utiliser la démonstration suivante qui est équivalente :
Soit T un vecteur de réseau normal à
l’axe de la rotation d’angle w. Si O est
un nœud du réseau, les extrémités des
4 vecteurs T, −T, T
= R(u, w) · T et
T
= R(u, w) · −T sont aussi des nœuds.
Le vecteur T − T est donc un vecteur
de réseau parallèle à T tel que :
T
− T
= m T (m entier).
Figure 4.14
En projetant sur un axe parallèle à T, on tire : 2 · cos w = m.
Il est possible de paver un plan avec des parallélogrammes, des rectangles, des carrés, et des hexagones réguliers. Par contre, le pavage est impossible avec des pentagones réguliers ou avec des polygones réguliers ayant plus de six côtés.
4.4 OPÉRATIONS DE SYMÉTRIE — ÉLÉMENTS DE SYMÉTRIE
Les opérations de symétrie sont des transformations de l’espace qui transforment un
objet en un homologue rigoureusement superposable à l’original ou superposable à
l’image de l’original dans un miroir. Si on se limite aux symétries d’orientation, les
opérations sont des rotations pures, des réflexions, l’inversion, des roto-réflexions et
des roto-inversions. Dans les cristaux les valeurs possibles pour l’ordre des rotations
sont 1, 2, 3, 4 et 6. Pour toutes ces opérations de symétrie, il existe des points fixes
(invariants dans l’opération).
On appelle élément de symétrie, l’ensemble des points fixes, (points, droites ou
plans) d’une opération de symétrie.
Ces éléments de symétrie sont utilisés pour la représentation graphique de l’opération à laquelle ils sont associés. La manière la plus efficace pour représenter les
opérations de symétrie dans un cristal est de tracer la projection stéréographique de
ses éléments de symétrie. Les éléments de symétrie qui interviennent en cristallographie sont :
– le centre de symétrie associé à l’inversion,
– le plan de réflexion ou miroir associé aux réflexions,
– les axes de rotation propres (C n ) ou impropres (S n ) qui peuvent éventuellement
être interprétés comme la combinaison de plusieurs éléments de symétrie plus
simples (miroir, inversion, axe d’indice plus faible).
4 • Opérations de symétrie dans les réseaux cristallins
Les seuls axes de symétrie possibles pour un réseau cristallin sont donc, en dehors
de l’identité, les axes 2, 3, 4 et 6.
On peut aussi utiliser la démonstration suivante qui est équivalente :
Soit T un vecteur de réseau normal à
l’axe de la rotation d’angle w. Si O est
un nœud du réseau, les extrémités des
4 vecteurs T, −T, T
= R(u, w) · T et
T
= R(u, w) · −T sont aussi des nœuds.
Le vecteur T − T est donc un vecteur
de réseau parallèle à T tel que :
T
− T
= m T (m entier).
Figure 4.14
En projetant sur un axe parallèle à T, on tire : 2 · cos w = m.
Il est possible de paver un plan avec des parallélogrammes, des rectangles, des carrés, et des hexagones réguliers. Par contre, le pavage est impossible avec des pentagones réguliers ou avec des polygones réguliers ayant plus de six côtés.
4.4 OPÉRATIONS DE SYMÉTRIE — ÉLÉMENTS DE SYMÉTRIE
Les opérations de symétrie sont des transformations de l’espace qui transforment un
objet en un homologue rigoureusement superposable à l’original ou superposable à
l’image de l’original dans un miroir. Si on se limite aux symétries d’orientation, les
opérations sont des rotations pures, des réflexions, l’inversion, des roto-réflexions et
des roto-inversions. Dans les cristaux les valeurs possibles pour l’ordre des rotations
sont 1, 2, 3, 4 et 6. Pour toutes ces opérations de symétrie, il existe des points fixes
(invariants dans l’opération).
On appelle élément de symétrie, l’ensemble des points fixes, (points, droites ou
plans) d’une opération de symétrie.
Ces éléments de symétrie sont utilisés pour la représentation graphique de l’opération à laquelle ils sont associés. La manière la plus efficace pour représenter les
opérations de symétrie dans un cristal est de tracer la projection stéréographique de
ses éléments de symétrie. Les éléments de symétrie qui interviennent en cristallographie sont :
– le centre de symétrie associé à l’inversion,
– le plan de réflexion ou miroir associé aux réflexions,
– les axes de rotation propres (C n ) ou impropres (S n ) qui peuvent éventuellement
être interprétés comme la combinaison de plusieurs éléments de symétrie plus
simples (miroir, inversion, axe d’indice plus faible).