4.1 Définition des opérations de symétrie
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Figure 4.5
Ce miroir est perpendiculaire à l’axe et contient le centre d’inversion.
Les figures 4.5b sont les représentations stéréographiques (avec l’axe binaire normal
au plan de figure ou dans le plan) de ce produit qui est commutatif :
Le résultat de la séquence :
1
I
−→ 2a
R(u,p)
−→ 3
est identique à celui de :
1
R(u,p)
−→ 2b
I
−→ 3
La relation s = I · C 2 montre que la présence de deux des opérations de symétrie
implique la présence de la troisième.
c) Produit d’un C n par un miroir perpendiculaire à l’axe
On note ce produit S(u, w) u étant le vecteur de l’axe C n et w l’angle de la rotation.
Cette opération est parfois appelée « roto-réflexion » alors que le produit d’une
rotation par une inversion est nommé « roto-inversion ».
S(u, w) = s · R(u, w) = R(u, w) · s
S n = s · C n = C n · s et s = I · R(u, p)
S(u, w) = I · R(u, p) · R(u, w) = R(u, w + p)
Donc une « roto-réflexion » correspond à une « roto-inversion » d’angle w + p.
Dans les descriptions des propriétés de symétrie on peut privilégier l’un ou l’autre
des systèmes. En général les physiciens utilisent les « roto-réflexions » du système
de Schönflies tandis que les cristallographes utilisent plutôt les « roto-inversions »
du système d’Hermann-Mauguin.
À titre d’exemple, les figures 4.6a et 4.6b représentent les projections stéréographiques des axes S 4 et S 2 .
Pour l’axe S 4 , on voit qu’il est équivalent d’effectuer une rotation de p/2 (1 ⇒ 2)
puis une symétrie par rapport au miroir normal à l’axe (2 ⇒ 3) ou d’appliquer l’inversion (1 ⇒ 2
) suivie d’une rotation de 3p/2 (2 ⇒ 3). On a donc S
1
4 = I
3
4 et
par permutation des valeurs des angles de rotation, on montre que S
3
4 = S
−1
4 = I
1
4 .
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Figure 4.5
Ce miroir est perpendiculaire à l’axe et contient le centre d’inversion.
Les figures 4.5b sont les représentations stéréographiques (avec l’axe binaire normal
au plan de figure ou dans le plan) de ce produit qui est commutatif :
Le résultat de la séquence :
1
I
−→ 2a
R(u,p)
−→ 3
est identique à celui de :
1
R(u,p)
−→ 2b
I
−→ 3
La relation s = I · C 2 montre que la présence de deux des opérations de symétrie
implique la présence de la troisième.
c) Produit d’un C n par un miroir perpendiculaire à l’axe
On note ce produit S(u, w) u étant le vecteur de l’axe C n et w l’angle de la rotation.
Cette opération est parfois appelée « roto-réflexion » alors que le produit d’une
rotation par une inversion est nommé « roto-inversion ».
S(u, w) = s · R(u, w) = R(u, w) · s
S n = s · C n = C n · s et s = I · R(u, p)
S(u, w) = I · R(u, p) · R(u, w) = R(u, w + p)
Donc une « roto-réflexion » correspond à une « roto-inversion » d’angle w + p.
Dans les descriptions des propriétés de symétrie on peut privilégier l’un ou l’autre
des systèmes. En général les physiciens utilisent les « roto-réflexions » du système
de Schönflies tandis que les cristallographes utilisent plutôt les « roto-inversions »
du système d’Hermann-Mauguin.
À titre d’exemple, les figures 4.6a et 4.6b représentent les projections stéréographiques des axes S 4 et S 2 .
Pour l’axe S 4 , on voit qu’il est équivalent d’effectuer une rotation de p/2 (1 ⇒ 2)
puis une symétrie par rapport au miroir normal à l’axe (2 ⇒ 3) ou d’appliquer l’inversion (1 ⇒ 2
) suivie d’une rotation de 3p/2 (2 ⇒ 3). On a donc S
1
4 = I
3
4 et
par permutation des valeurs des angles de rotation, on montre que S
3
4 = S
−1
4 = I
1
4 .