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4 • Opérations de symétrie dans les réseaux cristallins
Il faut remarquer qu’à la suite d’une inversion, il est impossible d’envisager une
transformation continue de l’espace (et donc sans changement d’orientation de l’espace) qui permette de faire coïncider l’objet initial et l’objet final. ( figure 4.3b où
la flèche de l’objet initial pointe vers l’avant alors que celle de l’objet final pointe
vers l’arrière). L’objet initial et l’objet final ne sont pas superposables. L’objet final
est l’image dans un miroir de l’objet initial (comme une main droite et une main
gauche). De tels objets sont dits « énantiomorphes ».
4.1.4 Produits d’opérations de symétrie
En cristallographie, l’étude des symétries impose de déterminer le « composé »
d’opérations de symétrie élémentaires. On appelle produit de symétrie l’opération
de symétrie qui résulte de l’application successive de deux opérations de symétrie.
En général le résultat final dépend de l’ordre dans lequel sont effectuées les opérations : le produit est alors non commutatif.
4.1.5 Étude de quelques produits
a) Produit des rotations par l’inversion
On fait suivre une inversion I par une rotation d’angle w dont l’axe de rotation u
contient le centre d’inversion.
Ce produit d’une rotation par une inversion est noté
par le symbole de la rotation surligné : R.
I · R(u, w) = R(u, w) · I = R(u, w)
Dans ce cas, la succession des deux opérations de symétrie réalisées dans l’ordre inverse (rotation puis inversion) donne le même résultat final.
L’inversion commute en effet avec toutes les rotations. Les objets initiaux et finaux sont là aussi énantiomorphes.
Si w = 2 · p/n (avec n entier), on note l’opération
produit C n ou I n .
Figure 4.4
Après n applications de l’opération, on retrouve l’élément initial. (C
n
n = I
n
n = E).
b) Le miroir : produit d’un axe binaire par l’inversion
Le produit d’un axe binaire (C 2 ) par une inversion dont le centre est situé sur l’axe,
produit noté C 2 = I · R(u, p), est une symétrie-plan ou miroir (voir la figure 4.5a)
que l’on note aussi s
¾ avec :
s = I · C 2 = I · R(u, p).
2. Les miroirs horizontaux sont notés s h et les miroirs verticaux sv.
4 • Opérations de symétrie dans les réseaux cristallins
Il faut remarquer qu’à la suite d’une inversion, il est impossible d’envisager une
transformation continue de l’espace (et donc sans changement d’orientation de l’espace) qui permette de faire coïncider l’objet initial et l’objet final. ( figure 4.3b où
la flèche de l’objet initial pointe vers l’avant alors que celle de l’objet final pointe
vers l’arrière). L’objet initial et l’objet final ne sont pas superposables. L’objet final
est l’image dans un miroir de l’objet initial (comme une main droite et une main
gauche). De tels objets sont dits « énantiomorphes ».
4.1.4 Produits d’opérations de symétrie
En cristallographie, l’étude des symétries impose de déterminer le « composé »
d’opérations de symétrie élémentaires. On appelle produit de symétrie l’opération
de symétrie qui résulte de l’application successive de deux opérations de symétrie.
En général le résultat final dépend de l’ordre dans lequel sont effectuées les opérations : le produit est alors non commutatif.
4.1.5 Étude de quelques produits
a) Produit des rotations par l’inversion
On fait suivre une inversion I par une rotation d’angle w dont l’axe de rotation u
contient le centre d’inversion.
Ce produit d’une rotation par une inversion est noté
par le symbole de la rotation surligné : R.
I · R(u, w) = R(u, w) · I = R(u, w)
Dans ce cas, la succession des deux opérations de symétrie réalisées dans l’ordre inverse (rotation puis inversion) donne le même résultat final.
L’inversion commute en effet avec toutes les rotations. Les objets initiaux et finaux sont là aussi énantiomorphes.
Si w = 2 · p/n (avec n entier), on note l’opération
produit C n ou I n .
Figure 4.4
Après n applications de l’opération, on retrouve l’élément initial. (C
n
n = I
n
n = E).
b) Le miroir : produit d’un axe binaire par l’inversion
Le produit d’un axe binaire (C 2 ) par une inversion dont le centre est situé sur l’axe,
produit noté C 2 = I · R(u, p), est une symétrie-plan ou miroir (voir la figure 4.5a)
que l’on note aussi s
¾ avec :
s = I · C 2 = I · R(u, p).
2. Les miroirs horizontaux sont notés s h et les miroirs verticaux sv.