3.6 Éléments de trigonométrie sphérique
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Les relations les plus utiles sont démontrées ci-après.
Soit le triangle sphérique ABC tracé sur la sphère de rayon unité centrée en O.
Les longueurs des côtés du triangle sphérique ( figure 3.12), sont les arcs BC, CA et
AC, et valent respectivement : a, b et c.
Les angles du triangle sphérique ˆ
A, ˆ
B
et ˆ
C sont respectivement égaux aux angles
des dièdres {BAO, CAO}, {ABO, CBO} et
{ACO, BCO}.
Soient A1 le point du grand cercle AC tel
que OA1 · OC = 0 et B1 le point du grand
cercle BC tel que OB1 · OC = 0.
Figure 3.12
On peut écrire :
OA = cos b · OC + sin b · OA1
OB = cos a · OC + sin a · OB1
L’angle du dièdre {OAC, OBC} égal à ˆ
C, est
aussi égal à l’angle {OA1, OB1}
Comme cos c = OA · OB, on a donc :
Figure 3.13
cos c = cos a · cos b + sin a · sin b · cos ˆ
C
´½µ
Par permutation circulaire, on déduit :
cos a = cos b · cos c + sin b · sin c · cos ˆ
A
´¾µ
cos b = cos c · cos a + sin c · sin a · cos ˆ
B
´¿µ
Les relations réciproques sont de la forme :
cos ˆ
A = − cos ˆ
B · cos ˆ
C + sin ˆ
B · sin ˆ
C · cos a
´´µ
Enfin de (1) et (3), on tire :
sin
2 a(sin
2 c · cos
2 ˆ
B − sin
2 b · cos
2 ˆ
C) = cos
2 b − cos
2 c + cos
2 a · (cos
2 c − cos
2 b)
sin
2 a(sin
2 c · cos
2 ˆ
B − sin
2 b · cos
2 ˆ
C) = (cos
2 b − cos
2 c) · (1 − cos
2 a)
sin
2 c · cos
2 ˆ
B + 1 − sin
2 c = 1 − sin
2 b + sin
2 b · cos
2 ˆ
C
dont on déduit :
sin c
sin ˆ
C
=
sin b
sin ˆ
B
qui peut être généralisé par :
sin a
sin ˆ
A
=
sin b
sin ˆ
B
=
sin c
sin ˆ
C
´´µ