2.7 Coordonnées réduites
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Un calcul analogue au précédent permet de calculer les coordonnées de D dans le
repère international :
x = u · a + v · b · cos g + w · c · cos b
y = v · b · sin g − w · c · sin b · cos a
∗
z = w · c · sin b · sin a
∗
Application : Calcul du volume de la maille
Dans ce repère, les composantes des vecteurs de base a, b, c sont :
a, 0, 0 ;
b · cos g, b · sin g, 0 ;
c · cos b, −c · sin b · cos a
∗
, c · sin b · sin a
∗ ;
Le calcul du produit mixte (a, b, c) donne :
V = a · b · c · sin a
∗
· sin b · sin g
Exercice
Écrire les relations des paragraphes 2.6.1 et 2.6.2 sous forme matricielle et vérifier
que la seconde matrice est l’inverse de la transposée de la première.
2.7 COORDONNÉES RÉDUITES
Pour repérer la position d’un point P dans une maille, on utilise souvent le système
des coordonnées réduites. Si les coordonnées obliques absolues du point P dans le
repère caractérisé par les vecteurs de base a, b, c sont x · a, y · b et z · c, on appelle
coordonnées réduites de P le triplet (x, y, z).
Par des translations entières de réseau, il est toujours possible de ramener le point
P sur un point identique contenu dans la maille origine. On adopte donc la convention
suivante pour les coordonnées réduites :
0 x < 1 ,
0 y < 1 ,
0 z < 1
Rappel des notations utilisées
a, OA
Vecteurs du réseau direct (caractères gras)
C ∗ , N
∗
hkl
Vecteurs du réseau réciproque (gras et *)
[u v w]
Rangée du réseau direct
(h k l)
Plan du réseau direct
[h k l] ∗
Rangée du réseau réciproque
(u v w) ∗
Plan du réseau réciproque
< h k l >
Famille de rangées directes
{h k l}
Famille de plans équivalents (forme)