Annexe B
Les 17 groupes plans
Outre son intérêt didactique, l’étude des groupes plans trouve des applications en
physique des surfaces. Ces groupes correspondent au pavage périodique du plan. Le
graveur néerlandais Maurits Cornelis Escher
1 en a donné de nombreuses illustrations.
L’identification des groupes utilisés dans ses gravures et la recherche des éléments
de symétrie sont d’excellents exercices.
2.1 AXES DE ROTATION ET RÉSEAUX PLANS
L’invariance du réseau lors des opérations de recouvrement impose que les seuls axes
directs possibles sont les axes 1, 2, 3, 4 et 6. Pour les réseaux bidimensionnels, seuls
les axes normaux au plan sont à prendre en compte. L’inversion est identique pour
les symétries planes à un axe binaire (centre de symétrie). Il faut aussi envisager, en
géométrie plane, la symétrie par rapport à une droite. On peut considérer cette droite
comme la trace d’un miroir normal au plan : cette « ligne-miroir » est notée m.
Les restrictions sur les opérations de symétrie compatibles avec la périodicité d’un
réseau plan font qu’il n’existe que 4 systèmes possibles.
2.1.1 Système hexagonal
La maille est telle que : a = b avec g = 2p/3. Elle est compatible avec la présence
d’axes 6 ou 3.
1. M. C. Escher, Œuvre graphique, B. Taschen, Köln, (1993).
Le monde de M. C. ESCHER, Chêne, Paris, (1972).
Les 17 groupes plans
Outre son intérêt didactique, l’étude des groupes plans trouve des applications en
physique des surfaces. Ces groupes correspondent au pavage périodique du plan. Le
graveur néerlandais Maurits Cornelis Escher
1 en a donné de nombreuses illustrations.
L’identification des groupes utilisés dans ses gravures et la recherche des éléments
de symétrie sont d’excellents exercices.
2.1 AXES DE ROTATION ET RÉSEAUX PLANS
L’invariance du réseau lors des opérations de recouvrement impose que les seuls axes
directs possibles sont les axes 1, 2, 3, 4 et 6. Pour les réseaux bidimensionnels, seuls
les axes normaux au plan sont à prendre en compte. L’inversion est identique pour
les symétries planes à un axe binaire (centre de symétrie). Il faut aussi envisager, en
géométrie plane, la symétrie par rapport à une droite. On peut considérer cette droite
comme la trace d’un miroir normal au plan : cette « ligne-miroir » est notée m.
Les restrictions sur les opérations de symétrie compatibles avec la périodicité d’un
réseau plan font qu’il n’existe que 4 systèmes possibles.
2.1.1 Système hexagonal
La maille est telle que : a = b avec g = 2p/3. Elle est compatible avec la présence
d’axes 6 ou 3.
1. M. C. Escher, Œuvre graphique, B. Taschen, Köln, (1993).
Le monde de M. C. ESCHER, Chêne, Paris, (1972).