2.6 Calculs dans les réseaux
19
L’inverse de cette norme est égal à l’équidistance d hkl entre les plans de la famille
(h k l) du réseau direct.
2.5.4 Angles entre des rangées directes
Deux plans réticulaires se coupent suivant une rangée. Dans un cristal les faces naturelles sont parallèles à des plans réticulaires, les arêtes sont donc parallèles à des
rangées. La méthode la plus simple pour déterminer l’angle entre deux arêtes dans
un cristal consiste à déterminer les indices des rangées parallèles aux arêtes étudiées
et de calculer, avec le produit scalaire, l’angle entre ces rangées.
L’angle u entre les rangées [u v w] et [u
v
w
] est tel que :
cos u =
(ua + vb + wc) · (u a + v b + w c)
n uvw · ·n u v w
2.5.5 Angles entre des rangées réciproques
La rangée réciproque [h k l]
∗ étant orthogonale à la famille de plans réticulaires
(h k l), l’angle entre deux rangées réciproques est le supplément de l’angle dièdre
entre les plans correspondants.
2.5.6 Angle de torsion
Dans la description des molécules, on fait souvent intervenir l’angle de torsion : dans
une chaîne d’atomes A, B, C, D, l’angle de torsion est l’angle dièdre entre les plans
ABC et BCD.
Pour déterminer l’angle de torsion, on peut chercher l’angle entre les normales aux plans ABC
et BCD. Ces normales sont obtenues en effectuant les produits vectoriels AB ∧ BC et
CD ∧ BC. On peut aussi utiliser la relation métrique dans le triangle AEF :
cos w = (AE
2 + EF
2
− AF
2 )/2 · AE · AF
On a aussi :
AE = l 12 sin u 2
EF = l 34 sin u 3
AF
2
= AD
2
− DF
2
= l
2
14 − DF
2
DF = EB + BC + DH
Figure 2.8
cos w =
l
2
12 + l
2
23 + l
2
34 − l
2
14 − 2l 12 l 23 cos u 2 − 2l 23 l 34 cos u 3 + 2l 12 l 34 cos u 2 cos u 3
2l 12 l 34 sin u 2 sin u 3