2.5 Calculs dans les réseaux
17
les rangées réciproques, s’écrivent sous les formes matricielles suivantes :
⎛
⎜
⎝
a 1
b 1
c 1
⎞
⎟
⎠ = (A)
⎛
⎜
⎝
a
b
c
⎞
⎟
⎠ ,
⎛
⎜
⎝
A
∗
1
B
∗
1
C
∗
1
⎞
⎟
⎠ = (A
∗ )
⎛
⎜
⎝
A
∗
B
∗
C
∗
⎞
⎟
⎠ ,
⎛
⎜
⎝
u 1
v 1
w 1
⎞
⎟
⎠ = (U)
⎛
⎜
⎝
u
v
w
⎞
⎟
⎠ ,
⎛
⎜
⎝
h 1
k 1
l 1
⎞
⎟
⎠ = (H)
⎛
⎜
⎝
h
k
l
⎞
⎟
⎠
On a également, en désignant par (U
T ) la matrice transposée de (U) :
(u 1 , v 1 , w 1 ) = (u, v, w) ·
U
T
La rangée directe r, la rangée réciproque R
∗ et leur produit scalaire r · R
∗ sont des
invariants dans cette transformation :
r = (u, v, w)
⎛
⎜
⎝
a
b
c
⎞
⎟
⎠ = (u 1 , v 1 , w 1 )
⎛
⎜
⎝
a 1
b 1
c 1
⎞
⎟
⎠ = (u, v, w)
U
T
(A)
⎛
⎜
⎝
a
b
c
⎞
⎟
⎠ ⇒ (A) =
U
T
−1
R
∗
= (h, k, l)
⎛
⎜
⎝
A
∗
B
∗
C
∗
⎞
⎟
⎠ = (h 1 , k 1 , l 1 )
⎛
⎜
⎝
A
∗
1
B
∗
1
C
∗
1
⎞
⎟
⎠ = (h, k, l)
H
T
(A
∗ )
⎛
⎜
⎝
A
∗
B
∗
C
∗
⎞
⎟
⎠ ⇒ (A
∗ ) =
H
T
−1
r · R
∗
= (u, v, w)
⎛
⎜
⎝
h
k
l
⎞
⎟
⎠ = (u 1 , v 1 , w 1 )
⎛
⎜
⎝
h 1
k 1
l 1
⎞
⎟
⎠ = (u, v, w)
U
T
(H)
⎛
⎜
⎝
h
k
l
⎞
⎟
⎠ ⇒ (H) =
U
T
−1
On a aussi :
A
T
−1 = (U) et
H
T
−1 = (U) = (A
∗ ). On déduit les relations :
(A
∗ ) =
A
T
−1 = (U)
(H) = (A)
Les vecteurs de base et les indices des plans (h k l) se transforment de manière
covariante, par contre les vecteurs de base réciproques et les indices des rangées
[u v w] se transforment de manière contravariante.
2.5 CALCULS DANS LES RÉSEAUX
Ces calculs sont souvent facilités par l’utilisation du réseau réciproque.