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2 • Les réseaux ponctuels
a
= a 11 · a + a 12 · b + a 13 · c
´´µ
b
= a 21 · a + a 22 · b + a 23 · c
c
= a 31 · a + a 32 · b + a 33 · c
On peut leur associer les repères réciproques A ∗ , B ∗ , C ∗ et A ∗ , B ∗ , C ∗ .
Considérons une rangée réciproque [h k l]
∗
. Elle constitue un invariant dans le
changement de repère :
N
∗
hkl = h · A
∗ + k · B
∗ + l · C
∗
Dans le nouveau repère cette la rangée devient [h
k
l
]
∗ :
N
∗
hkl = h
· A
∗ + k
· B
∗ + l
· C
∗
h
· A
∗ + k
· B
∗ + l
· C
∗
= h · A
∗ + k · B
∗ + l · C
∗
´½¼µ
Multiplions scalairement les deux membres de (10) par le vecteur a (9) :
h
· A
∗ + k
· B
∗ + l
· C
∗
· a
=
h · A
∗ + k · B
∗ + l · C
∗
· (a 11 · a + a 12 · b + a 13 · c
Or : A
∗
· a
= A
∗
· a = 1 . . . et B ∗ · a = B ∗ · a = C ∗ · a = C ∗ · a = 0 . . .
On en déduit que :
h
= a 11 · h + a 12 · k + a 13 · l
On montre de même que :
k
= a 21 · h + a 22 · k + a 23 · l
l
= a 31 · h + a 32 · k + a 33 · l
Dans un changement de repère, les indices de Miller des rangées réciproques (ou
des plans du réseau direct) se transforment comme les vecteurs de base du réseau
direct.
Exercice
Établir les relations entre les indices de Miller d’une rangée directe, exprimés
dans le nouveau repère, en fonction des indices de cette rangée dans l’ancien repère.
Montrer que la matrice de transformation est l’inverse de la transposée de la matrice
qui relie les vecteurs de base. On pourra utiliser le fait que la rangée r = u·a+v·b+w·c
est un invariant dans la transformation.
2.4.2 Généralisation
Soit une transformation qui fait passer du repère a, b, c au repère a 1 , b 1 , c 1 . Les
relations entre les vecteurs de base, les vecteurs réciproques, les rangées directes et