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Solutions des exercices
Les matrices rotation +p/2 autour de Oy et Oz s’écrivent :
Oy ⇒
⎛
⎝
0 0 1
0 1 0
1 0 0
⎞
⎠
Oz ⇒
⎛
⎝
0 1 0
1 0 0
0 0 1
⎞
⎠
Les matrices rotation autour des axes ternaires du cube s’écrivent :
[111]
111
111
111
⎛
⎝
0 0 1
1 0 0
0 1 0
⎞
⎠
⎛
⎝
0 1 0
0 0 1
1 0 0
⎞
⎠
⎛
⎝
0 1 0
0 0 1
1 0 0
⎞
⎠
⎛
⎝
0 0 1
1 0 0
0 1 0
⎞
⎠
Le produit d’une rotation de +p/2 autour de Oy par une rotation de +p/2 autour de
Ox est donc (produit non commutatif) :
⎛
⎝
0 0 1
1 0 0
0 1 0
⎞
⎠
Rotation de
2p
3
autour de [111] .
Le produit d’une rotation de +p/2 autour de Ox par une rotation de +p/2 autour de
Oy est :
⎛
⎝
0 1 0
0 0 1
1 0 0
⎞
⎠ Rotation de
2p
3
autour de
111
.
En utilisant la relation cos g = cos a·cos b−sin a·sin b·cos c, donnant le demi-angle
de la rotation produit de deux rotations d’axes concourants, on tire :
g = p/3
(a = b = p/4, c = p/2).
La présence de 2 axes 4 ⊥ implique la présence de 4 axes 3 orientés selon les diagonales du cube (et aussi de 3 axes 4 normaux aux faces du cube).
Réciproque : Produit de 2 axes ternaires. Il faut envisager le cas
111
· [111] avec
c ≈ 70
◦ et le cas
111
· [111] avec c = 109
◦ 28
. Le premier cas correspond à un
binaire orienté selon [010] (ou selon [001] pour le produit inverse) et le second à un
ternaire orienté selon
111
.
La présence de 4 axes 3 orientés selon les diagonales d’un cube implique seulement
la présence de 3 axes binaires normaux aux faces d’un cube.
Le produit d’une rotation autour un axe 3 orienté selon [111] suivie d’une rotation autour d’un axe 4 orienté selon [001] est un axe binaire orienté selon [011]. Le produit
inverse correspond à un axe binaire orienté selon [101].
g = p/2
(a = p/4, b = p/3, cos c = 1/
√
3)
[011] ⇒
⎛
⎝
1 0 0
0 0 1
0 1 0
⎞
⎠ [101] ⇒
⎛
⎝
0 0 1
0 1 0
1 0 0
⎞
⎠