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2 • Les réseaux ponctuels
b) Norme des rangées réciproques dans un réseau cristallin
Si le plan P est un plan réticulaire alors P appartient à une famille de plans parallèles
et équidistants notée (h k l). Soit d hkl la distance entre deux plans de la famille. C’est
la projection du vecteur OA sur la normale au plan, normale qui a la direction du
vecteur N
∗
hkl :
d hkl =
N
∗
hkl · OA
N
∗
hkl
=
(hA
∗ + kB
∗ + lC
∗ )
N
∗
hkl
·
a
h
=
1
N
∗
hkl
d hkl · · N
∗
hkl = 1
´´µ
À toute famille (h k l) de plans du réseau direct, on peut associer la rangée réciproque [h k l]
∗ qui lui est orthogonale.
2.2.5 Propriété des plans réciproques
La relation (7) de définition du réseau réciproque est symétrique en a i et A ∗
j : Le
réseau réciproque du réseau réciproque est donc le réseau direct initial.
À toute famille (u v w)
∗ de plans du réseau réciproque, on peut associer la rangée
directe, notée [u v w] qui lui est orthogonale. Soient D
∗
uvw la distance entre deux plans
de la famille et n uvw la rangée directe normale. D’après la relation (8) on a :
D
∗
uvw · · n uvw = 1
2.3 LES INDICES DE MILLER
De nombreux systèmes de notation des plans réticulaires ont été proposés (LévyDes Cloizeaux, Weiss-Roze, Nauman, Goldschmidt) mais c’est finalement le système proposé par Miller en 1839 qui s’est imposé.
Une famille de plans réticulaires admettant comme normale la rangée réciproque
d’indices [h k l]
∗ sera notée (h k l). Cette nouvelle définition des indices de Miller est
équivalente à celle qui a été donnée au paragraphe 2.1.4 : les indices de Miller d’une
famille de plans réticulaires sont les inverses des longueurs découpées sur les axes
par le premier plan de cette famille (qui est le plan d’équation h · u + k · v + · w = 1).
C’est l’identité des notations d’une famille de plans réticulaires, à partir des réseaux direct (inverses des longueurs découpées) et réciproque (indices de la normale), qui constitue l’avantage essentiel de la notation de Miller.
Cas particulier. Si un plan est parallèle à un axe, il découpe sur celui-ci une longueur
infinie et l’indice de Miller correspondant est donc nul. Par conséquent les plans
contenant les vecteurs de base ont pour notations :
xOy ⇒ (001)
yOz ⇒ (100)
xOz ⇒ (010)
2 • Les réseaux ponctuels
b) Norme des rangées réciproques dans un réseau cristallin
Si le plan P est un plan réticulaire alors P appartient à une famille de plans parallèles
et équidistants notée (h k l). Soit d hkl la distance entre deux plans de la famille. C’est
la projection du vecteur OA sur la normale au plan, normale qui a la direction du
vecteur N
∗
hkl :
d hkl =
N
∗
hkl · OA
N
∗
hkl
=
(hA
∗ + kB
∗ + lC
∗ )
N
∗
hkl
·
a
h
=
1
N
∗
hkl
d hkl · · N
∗
hkl = 1
´´µ
À toute famille (h k l) de plans du réseau direct, on peut associer la rangée réciproque [h k l]
∗ qui lui est orthogonale.
2.2.5 Propriété des plans réciproques
La relation (7) de définition du réseau réciproque est symétrique en a i et A ∗
j : Le
réseau réciproque du réseau réciproque est donc le réseau direct initial.
À toute famille (u v w)
∗ de plans du réseau réciproque, on peut associer la rangée
directe, notée [u v w] qui lui est orthogonale. Soient D
∗
uvw la distance entre deux plans
de la famille et n uvw la rangée directe normale. D’après la relation (8) on a :
D
∗
uvw · · n uvw = 1
2.3 LES INDICES DE MILLER
De nombreux systèmes de notation des plans réticulaires ont été proposés (LévyDes Cloizeaux, Weiss-Roze, Nauman, Goldschmidt) mais c’est finalement le système proposé par Miller en 1839 qui s’est imposé.
Une famille de plans réticulaires admettant comme normale la rangée réciproque
d’indices [h k l]
∗ sera notée (h k l). Cette nouvelle définition des indices de Miller est
équivalente à celle qui a été donnée au paragraphe 2.1.4 : les indices de Miller d’une
famille de plans réticulaires sont les inverses des longueurs découpées sur les axes
par le premier plan de cette famille (qui est le plan d’équation h · u + k · v + · w = 1).
C’est l’identité des notations d’une famille de plans réticulaires, à partir des réseaux direct (inverses des longueurs découpées) et réciproque (indices de la normale), qui constitue l’avantage essentiel de la notation de Miller.
Cas particulier. Si un plan est parallèle à un axe, il découpe sur celui-ci une longueur
infinie et l’indice de Miller correspondant est donc nul. Par conséquent les plans
contenant les vecteurs de base ont pour notations :
xOy ⇒ (001)
yOz ⇒ (100)
xOz ⇒ (010)