2.2 Le réseau réciproque
13
De même, les angles du réseau direct se déduisent des angles du réseau réciproque,
par des relations de la forme :
cos a =
cos b ∗ · cos g ∗ − cos a ∗
sin b ∗ · sin g ∗
b) Norme des vecteurs de base
En effectuant le produit vectoriel des vecteurs de base du réseau réciproque, on tire
des relations (1) et (2) :
A
∗
∧ B
∗
=
(b ∧ c) ∧ (c ∧ a)
V 2
=
c · (b, c, a)
V 2
Le calcul de la norme des deux premiers termes donne :
A
∗
∧ B
∗
=
b · c · sin a · c · a · sin b · sin g ∗
V 2
=
c.V
V 2
Donc :
V = a·b·c·sin a·sin b·sin g
∗
= a·b·c·sin a
∗
·sin b·sin g = a·b·c·sin a·sin b
∗
·sin g.
A
∗
=
b ∧ c
V
=
b · c · sin a
a · b · c · sin a · sin b · sin g ∗
=
1
a · sin b · sin g ∗ =
1
a · sin b ∗ · sin g
2.2.4 Propriétés des rangées du réseau réciproque
a) Orientation
Soient le vecteur réciproque N
∗
hkl = h · A
∗ + k · B
∗ + l · C
∗ et P le plan du réseau
direct, noté (h k l) et dont d’équation est :
h
x
a
+ k
y
b
+
z
c
= 1
Comme ce plan ( figure 2.1) coupe les axes directs en A, B et C, les vecteurs AB et
BC appartiennent au plan P. D’après les relations (5) et (7), on a :
N
∗
hkl · AB = (hA
∗ + kB
∗ + lC
∗ ) ·
b
k
−
a
h
= 0
Les produits scalaires N
∗
hkl · AB et N
∗
hkl · BC sont nuls et par suite :
N
∗
hkl ⊥ (hkl)
La rangée réciproque [hkl] ∗ est normale aux plans (hkl) du réseau direct.