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2 • Les réseaux ponctuels
2.2.2 Exemple de réseau réciproque
La figure 2.3 représente les vecteurs de base directs et réciproques d’un réseau monoclinique
caractérisée par :
a = g = p/2 ; b > p/2 ; a = b = c.
A ∗ ⊥ b, A ∗ ⊥ c
C ∗ ⊥ b, C ∗ ⊥ a
B ∗ ⊥ a, B ∗ ⊥ c
Dans cet exemple les vecteurs b et B ∗ sont colinéaires.
(a = a
∗
= g = g
∗
= p/2)
Figure 2.3
Dans les réseaux triorthogonaux (a = b = g = p/2), les vecteurs de base des
réseaux direct et réciproque sont colinéaires. Les longueurs des axes réciproques
sont les inverses de celles des axes directs (d’où le nom de réciproque !).
2.2.3 Calcul des grandeurs réciproques
a) Angles entre les vecteurs de base
Le calcul du produit scalaire A ∗ · B ∗ permet d’exprimer les angles a
∗ , b ∗ et g
∗ entre
les vecteurs de base du réseau réciproque en fonction des angles a, b et g.
a est l’angle entre b et c, b est l’angle entre a et c, g ∗ est l’angle entre A ∗ et B ∗ .
D’après les relations de définition (6) : A
∗
= A
∗
= b · c · sin a.V
−1
.
En utilisant la relation (2), on a :
A
∗
· B
∗
=
(b ∧ c) · (c ∧ a)
V 2
=
(b · c)(a · c) − c
2 (a · b)
V 2
=
b · c · cos a · a · c cos b − a · b · c
2 cos g
V 2
Le calcul direct du produit scalaire donne :
A
∗
· B
∗
= A
∗
· B
∗
. cos g
∗
=
b · c · sin a · a · c · sin b · cos g ∗
V 2
La comparaison des deux expressions donne :
On tire par permutation circulaire :
cos g ∗ =
cos a · cos b − cos g
sin a · sin b
cos b ∗ =
cos a · cos g − cos b
sin a · sin g
cos a ∗ =
cos g · cos b − cos a
sin g · sin b