Problèmes
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Transition cubique-trigonal
1) Exprimer en fonction des vecteurs de base a, b et c du réseau direct, les vecteurs
de base du réseau réciproque A ∗ , B
∗ et C ∗ . On exprimera la valeur de chaque vecteur
réciproque sous la forme du quotient d’un produit vectoriel par un produit mixte. On
posera s
2
= 1.
2) La maille rhomboèdrique est caractérisée par :
a = b = c a = b = g =
p
2
Montrer que le volume de cette maille est égal à :
V = a
3
1 − 3 cos 2 a + 2 cos 3 a
Une méthode de calcul est suggérée par le
schéma ci-contre.
w = {a, b + c}
a = {a, b}
a
2
= {b, b + c}
3) Sachant que :
(a ∧ b)·(c ∧ d) = (a·c)·(b·d)−(a·d)·(b·c)
et en utilisant les résultats des questions 1 et
2, montrer que dans le réseau trigonal on a :
1
d 2
hkl
=
h
2 + k
2 + l
2
sin
2 a + 2 (hk + kl + hl) ·
cos
2 a − cos a
a 2
1 + 2 cos 3 a − 3 cos 2 a
4) Les calculs, dans une maille trigonale, étant complexes (voir ci-dessus) on travaille généralement dans la maille triple hexagonale contenant les nœuds dont les
coordonnées réduites sont :
0, 0, 0
2/3, 1/3, 1/3
1/3, 2/3, 2/3.
En utilisant la projection sur (001) des 2 mailles, exprimer les vecteurs de base de la maille trigonale en
fonction de ceux de la maille hexagonale et réciproquement.
5) Certains composés présentent une transition cubique ⇔ trigonal, pouvant être schématisée par un étirement (ou une compression) de la maille cubique suivant un axe ternaire du cube.
L’angle a du rhomboèdre obtenu est voisin de p/2
(a = p/2 − ´).