Exercices
273
3) En supposant que le réseau du cristal est du type P, que q est la face (011), que le
paramètre a vaut 3,777 Å, déterminer les indices et le paramètre de la rangée [uvw]
parallèle à l’arête entre les faces q et t.
4) On désire construire les plans (hkl)
∗ du réseau réciproque normaux à la rangée
[uvw] précédente.
– Établir une relation entre les indices des nœuds du plan (hkl)
∗ passant par l’origine
puis entre les indices des nœuds du plan (hkl)
∗ immédiatement supérieur.
– Construire le plan (hkl)
∗ passant par l’origine (s
2
= 5 · 10
−8 cm
2 ).
– Positionner sur ce plan la projection de l’origine du plan (hkl)
∗ immédiatement
supérieur.
Symétrie et groupes d’espaces
1. Produit d’éléments de symétrie
On effectue les produits entre :
a : 2 axes binaires sécants séparés par un angle a.
b : 2 miroirs sécants séparés par un angle a.
c : 1 axe binaire et un miroir dont la normale fait l’angle a avec l’axe.
d : On suppose que l’intersection des éléments de symétrie étudiés dans les trois
premiers cas est aussi un centre d’inversion.
Déterminer la symétrie globale résultante pour a = 90
◦ , 60 ◦ , 45 ◦ et 30 ◦ et tracer les
16 projections stéréographiques correspondantes.
2. Effectuer le produit des axes 1, 2, 3, 4 et 6 par l’inversion et indiquer les symétries
résultantes.
3. Soit un repère orthonormé Ox, Oy, Oz.
a) Montrer que la matrice de rotation :
⎛
⎝
1 0 0
0 0 1
0 1 0
⎞
⎠
représente une rotation de p/2 autour de l’axe Ox.
b) En utilisant des matrices analogues montrer que l’existence de deux axes orthogonaux d’ordre 4 implique l’existence de 4 axes ternaires dont on précisera l’orientation.
c) Montrer que la réciproque est fausse. Qu’implique la présence de 4 axes ternaires
orientés comme dans la question b) ?
d) Étudier également le résultat du produit d’un axe 4 orienté suivant [001] par un
axe 3 orienté selon [111].
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3) En supposant que le réseau du cristal est du type P, que q est la face (011), que le
paramètre a vaut 3,777 Å, déterminer les indices et le paramètre de la rangée [uvw]
parallèle à l’arête entre les faces q et t.
4) On désire construire les plans (hkl)
∗ du réseau réciproque normaux à la rangée
[uvw] précédente.
– Établir une relation entre les indices des nœuds du plan (hkl)
∗ passant par l’origine
puis entre les indices des nœuds du plan (hkl)
∗ immédiatement supérieur.
– Construire le plan (hkl)
∗ passant par l’origine (s
2
= 5 · 10
−8 cm
2 ).
– Positionner sur ce plan la projection de l’origine du plan (hkl)
∗ immédiatement
supérieur.
Symétrie et groupes d’espaces
1. Produit d’éléments de symétrie
On effectue les produits entre :
a : 2 axes binaires sécants séparés par un angle a.
b : 2 miroirs sécants séparés par un angle a.
c : 1 axe binaire et un miroir dont la normale fait l’angle a avec l’axe.
d : On suppose que l’intersection des éléments de symétrie étudiés dans les trois
premiers cas est aussi un centre d’inversion.
Déterminer la symétrie globale résultante pour a = 90
◦ , 60 ◦ , 45 ◦ et 30 ◦ et tracer les
16 projections stéréographiques correspondantes.
2. Effectuer le produit des axes 1, 2, 3, 4 et 6 par l’inversion et indiquer les symétries
résultantes.
3. Soit un repère orthonormé Ox, Oy, Oz.
a) Montrer que la matrice de rotation :
⎛
⎝
1 0 0
0 0 1
0 1 0
⎞
⎠
représente une rotation de p/2 autour de l’axe Ox.
b) En utilisant des matrices analogues montrer que l’existence de deux axes orthogonaux d’ordre 4 implique l’existence de 4 axes ternaires dont on précisera l’orientation.
c) Montrer que la réciproque est fausse. Qu’implique la présence de 4 axes ternaires
orientés comme dans la question b) ?
d) Étudier également le résultat du produit d’un axe 4 orienté suivant [001] par un
axe 3 orienté selon [111].