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Exercices
– Compléter l’indexation de la projection stéréographique.
– Montrer que l’une des arêtes de la face a est parallèle à un axe ternaire.
– Déterminer les indices des arêtes de la face a et calculer les angles entre celles-ci.
– Si toutes les faces ont le même développement, montrer qu’il existe une relation
métrique simple entre certaines des arêtes.
15. Angles caractéristiques des groupes de l’icosaèdre
L’icosaèdre régulier (les 20 faces sont des triangles équilatéraux) est une forme du
groupe ponctuel 53m. Les éléments de symétrie de ce groupe non cristallographique
sont : 6 A5, 10 A3, 15 A2, 15 M, 1 C.
Construire un modèle et identifier sur celui-ci les éléments de symétrie.
Pour déterminer les angles caractéristiques
de ce groupe, on peut utiliser la méthode suivante :
On réalise une projection de l’icosaèdre sur
le plan xOy (Ox, Oy, Oz sont des axes binaires). Sachant que le coté a d’un pentagone est lié au rayon R de son cercle circonscrit par la relation :
a =
R
2
10 − 2
√
5.
– Calculer les angles entre les axes 2 et 5, 3
et 5 et 2 et 3.
– Construire avec une abaque de Wulff la
projection stéréographique du groupe 53m
et celle de l’icosaèdre.
Exercices
– Compléter l’indexation de la projection stéréographique.
– Montrer que l’une des arêtes de la face a est parallèle à un axe ternaire.
– Déterminer les indices des arêtes de la face a et calculer les angles entre celles-ci.
– Si toutes les faces ont le même développement, montrer qu’il existe une relation
métrique simple entre certaines des arêtes.
15. Angles caractéristiques des groupes de l’icosaèdre
L’icosaèdre régulier (les 20 faces sont des triangles équilatéraux) est une forme du
groupe ponctuel 53m. Les éléments de symétrie de ce groupe non cristallographique
sont : 6 A5, 10 A3, 15 A2, 15 M, 1 C.
Construire un modèle et identifier sur celui-ci les éléments de symétrie.
Pour déterminer les angles caractéristiques
de ce groupe, on peut utiliser la méthode suivante :
On réalise une projection de l’icosaèdre sur
le plan xOy (Ox, Oy, Oz sont des axes binaires). Sachant que le coté a d’un pentagone est lié au rayon R de son cercle circonscrit par la relation :
a =
R
2
10 − 2
√
5.
– Calculer les angles entre les axes 2 et 5, 3
et 5 et 2 et 3.
– Construire avec une abaque de Wulff la
projection stéréographique du groupe 53m
et celle de l’icosaèdre.