19.4 La réflectivité des films minces
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Pour déterminer l’amplitude du champ à la surface d’un matériau en couches (altitude z 0 ), il suffit de considérer toutes les translations et les réfractions subies par
l’onde dans chacune des couches en partant de la couche la plus enterrée (altitude z S ).
Cela peut se traduire matriciellement par l’équation suivante :
u
+ (z 0 )
u
− (z 0 )
= R 01 T 1 R 12 ...T N−1 R N−1N T N R NS
u
+ (z S )
u
− (z S )
La matrice de passage du milieu 0 à l’air est le produit des matrices de réfraction
et de translation dans les milieux successifs. C’est une matrice M de dimension 2 × 2
qui vérifie :
u
+ (z 0 )
u
− (z 0 )
= M
u
+ (z S )
u
− (z S )
=
M 11 M 12
M 21 M 22
u
+ (z S )
u
− (z S )
Le coefficient de réflexion en amplitude r, qui est le rapport de l’amplitude du
champ électrique réfléchi (onde +) en z = z 0 sur celle du champ incident (onde −)
en z = z S , est alors donné par :
r =
u
+ (z 0 )
u − (z 0 )
=
M 11 u
+ (z S ) + M 12 u − (z S )
M 12 u + (z S ) + M 22 u − (z S )
Or les rayons X ne pénètrent pas très profondément dans l’échantillon et il est
donc raisonnable de penser qu’il n’y a pas d’onde retour (onde +) en provenance du
substrat, ce qui impose :
u
+ (z S ) = 0
et donc :
r =
M 12
M 22
.
Le formalisme que nous venons de développer est valable pour n’importe quel
type d’ondes électromagnétiques et nous allons maintenant voir comment il s’applique au cas des radiations X.
Remarques :
– Nous pouvons également déterminer le coefficient de transmission en amplitude t défini par : t = u − (0)/u − (L) et vérifier que ce coefficient est égal
à : t = 1 / M 22
– Nous noterons que pour une onde de polarisation (p), les coefficients p n
et m n doivent être modifiés en remplaçant dans l’équation (a), le nombre
d’onde k jz dans le milieu numéro j par k jz /n
2
j .
– Au lieu de considérer le passage des valeurs de u
±
n (z n )à u
±
n+1 (z n ), il est
d’usage fréquent d’introduire la matrice de passage des amplitudes A
±
n à
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Pour déterminer l’amplitude du champ à la surface d’un matériau en couches (altitude z 0 ), il suffit de considérer toutes les translations et les réfractions subies par
l’onde dans chacune des couches en partant de la couche la plus enterrée (altitude z S ).
Cela peut se traduire matriciellement par l’équation suivante :
u
+ (z 0 )
u
− (z 0 )
= R 01 T 1 R 12 ...T N−1 R N−1N T N R NS
u
+ (z S )
u
− (z S )
La matrice de passage du milieu 0 à l’air est le produit des matrices de réfraction
et de translation dans les milieux successifs. C’est une matrice M de dimension 2 × 2
qui vérifie :
u
+ (z 0 )
u
− (z 0 )
= M
u
+ (z S )
u
− (z S )
=
M 11 M 12
M 21 M 22
u
+ (z S )
u
− (z S )
Le coefficient de réflexion en amplitude r, qui est le rapport de l’amplitude du
champ électrique réfléchi (onde +) en z = z 0 sur celle du champ incident (onde −)
en z = z S , est alors donné par :
r =
u
+ (z 0 )
u − (z 0 )
=
M 11 u
+ (z S ) + M 12 u − (z S )
M 12 u + (z S ) + M 22 u − (z S )
Or les rayons X ne pénètrent pas très profondément dans l’échantillon et il est
donc raisonnable de penser qu’il n’y a pas d’onde retour (onde +) en provenance du
substrat, ce qui impose :
u
+ (z S ) = 0
et donc :
r =
M 12
M 22
.
Le formalisme que nous venons de développer est valable pour n’importe quel
type d’ondes électromagnétiques et nous allons maintenant voir comment il s’applique au cas des radiations X.
Remarques :
– Nous pouvons également déterminer le coefficient de transmission en amplitude t défini par : t = u − (0)/u − (L) et vérifier que ce coefficient est égal
à : t = 1 / M 22
– Nous noterons que pour une onde de polarisation (p), les coefficients p n
et m n doivent être modifiés en remplaçant dans l’équation (a), le nombre
d’onde k jz dans le milieu numéro j par k jz /n
2
j .
– Au lieu de considérer le passage des valeurs de u
±
n (z n )à u
±
n+1 (z n ), il est
d’usage fréquent d’introduire la matrice de passage des amplitudes A
±
n à